巧设数学问题 拓展思维深度

刘彩霞

教学内容：人教版小学数学四年级下册第90～91页的例1、例2及相关内容。

教学目标：

1.在具体问题情境中，感受求平均数的需求。通过操作和思考体会平均数的意义，知道平均数的求法，体会平均数在统计学中的作用，并能够用自己的语言解释其实际意义。

2.培养学生深度思考的能力，增强合作交流的意识，提升学生的数学核心素养。

教学重、难点：理解平均数的意义，掌握求平均数的方法。在生活中理解平均数的意义及作用。

教学过程：

一、生活问题导入，激趣生疑

（多媒体出示资讯：《 2015年世界卫生统计》报告显示：目前中国女性的平均寿命是77岁。）

师：老师看了这份资料很高兴，因为我离这个年龄还很远。可是小明却很郁闷，因为他的奶奶已经76岁了，他为什么郁闷呢？

生：他觉得奶奶快去世了。

师：事实真像小明想的这样吗？这节课我们就一起来研究这方面内容。

二、分层探究，建构新知

1. 联系生活，情境激趣。

师：我们班级要进行一场男女踢毽子对抗赛。现在邀请大家当裁判员，你们愿意吗？

第一轮：

师：谁赢了，理由是什么？

生：男生队赢，因为男生每人踢的都比女生多。

第二轮：

师：这回数据发生变化了，谁赢了？ 理由是什么？

生：女生赢，因为女生队一共踢了64个，男生队一共踢了60个。女生队踢的总数比男生队的总数多，所以女生队赢。

师：非常好，这是利用总数进行比较。

师：目前两队踢成平手。第三轮谁赢呢？

第三轮：

师：这得怎么评判？比较两队总数，女生队同意吗？

生：不同意，女生队比男生队少了一个人，太不公平了。

师：不能比较两队总数，那怎么评判呢？

（先独立思考，再同桌交流。）

师：谁想出好办法了？

生：我们可以先求出每队平均每人踢多少个？然后再比较。

师：真善于思考！的确，不管是4个人还是5个人，算出他们平均每人踢了多少个，再来比较，这个方案比较合理。

（板书问题：女生队平均每人踢多少个？男生队平均每人踢多少个？）

2.建构概念，认识平均数。

师：我们先来看看女生平均每人踢了多少个。不计算，你能估计一下吗？

生：把高蕊踢的20个，给于水瑶一个，这样女生每人都是踢了19个。

师：真有想法，现在我把这些数据放在统计图中。（课件演示。）像这样几个不相同的数据，从多的里面移一些补给少的，使它们变得同样多，数学中把这一过程叫做移多补少。（板书。）

师：刚才同学们利用移多补少的方法估计出女生平均每个人踢了19个。现在我们来实际计算一下。

（学生计算解答。）

生1：女生队平均每个人踢了19个。

生2：我是先求出女生队一共踢了多少个，再用总数除以总人数，就等于女生队平均每个人踢了多少个。

师：要求女生队平均每个人踢了多少个，就是用踢的总个数除以总人数。（板书。）

3.深度思考，体会平均数的意义和特点。

（1）感受平均数是一个虚拟的数。

师：通过计算我们得出19是她们4个人平均每人踢的个数，想一想这个19是某一个人的成绩吗？是什么？

生1：是把4个学生踢的总数平均分成4份得到的数。

生2：是平均成绩。

师：注意观察，在这4个人当中，有的人踢的个数要比平均成绩——

生：高。

师：还有的人踢的个数要比平均成绩——

生：低。

师：看样子这个平均成绩既不是这里最大的，也不是这里最小的。它反映的是女生队踢毽子的——

生1：總体情况。

生2：整体水平。

（师板书：整体水平。）

师：这个19在数学中就叫做这组数据的——平均数。（板书课题。）

师：平均数是为了代表这组数据的总体水平而创造出来的一个“虚拟”的数。

师：谁来说一说19是哪几个数的平均数？

生：18、20、19、19。

（2）体会平均数的取值范围。

师：男生队平均每人踢了多少个？你能估计这组数据的平均数吗？这组数据的平均数应该在什么范围？

生1：比20少，比15多。

生2：在15到20之间。

师：非常好，也就是说平均数比最大的数据小，比最小的数据大。

师：下面动手算一算，看看你估计得准不准。

（学生完成后指名板演。）

师：为什么除以5而不是除以4了呢？

生：因为男生队一共5个人，所以得除以5。

师：17代表的是什么？

生：代表男生队的整体水平。

（3）对比整体与个体。

师：5个男生的队伍和4个女生队伍的PK，谁赢了？为什么？

生：女生队赢了，因为女生队整体水平高。

师：事实胜于雄辩，人多不一定就胜利。5个男生的队伍输给了4个女生的队伍。那是不是这里的男生个个都不如女生呢？

生1：男生队虽然输了，但并不代表每个男生都输给女生。

生2：张铭阳就比于水瑶和辛佳莹踢的都多。

生3：于水瑶踢的比周卓然少。

师：所以说，平均数代表的是一组数据的整体水平。整体水平高并不代表每个人的水平高，整体水平低并不代表每个人的水平低。

（4）感受平均数的变化。

师：如果女生再派出一名女生（陆婉婷）上场。情况又会怎么样呢？讨论一下：陆婉婷踢几个，女生整体水平不变？

生：踢19个。

师：如果她只踢了4个，平均数会变化吗？如果她踢了24个，平均数又会怎样？由此，你能得出什么结论？

（自主探究，合作交流。）

生1：如果她只踢了4个，平均数是16。女生队就输了。

生2：如果她踢了24个，平均数是20，女生队还赢。

（课件直观演示，观察比较。）

师：所以说平均数很敏感，它会随着某个数据的变化而发生变化，在统计数据时一定要做到准确。

三、回顾新知，生活运用

师：现在谁来说说对平均数的认识？

生1：平均数是虚拟的数。

生2：它体现的是一组数据的整体水平。

生3：平均数的范围是比最小的数据大，比最大的数据小。

生4：我知道可以用移多补少的方法求平均数。

生5：也可以用总数除以总份数求平均数。

师：求平均数的两种方法各有各的长处，我们可以根据数据的特点来灵活选择。

师：生活中有很多关于平均数的应用，你能找到吗？

生：期中、期末考完试后，比较哪个班的成绩好，就是比较平均分的多少。

师：如果你的成绩低，就会把班级的平均分拉下去，为了班级的整体水平也要好好学习。

师：坐公交车时，标有120厘米以下儿童免票，为什么是120厘米呢？

生：因为这个身高的孩子都特别小。

师：差不多，这是根据某一年龄儿童的平均身高得到并制定的政策。

师：对于平均数的研究，你还有问题吗？

（学生质疑。）

四、分层练习，学以致用

1.基础练习。

下面说法正确吗？正确的画“√”，错误的画“×”。

王悦5次跳远的总成绩是10m，她每次的跳远成绩肯定都是2m。（ ）

2.拓展练习。

（1）一条小河平均水深0.8m，小明身高是1.3m，下去会有危险吗？

（2）选择正确算式的字母填在括号里。

2014年小刚家各季度用水量情况统计图

小刚家平均每月用水多少吨？ （ ）

A.（16+24+35+21）÷4

B.（16+24+35+21）÷12

C.（16+24+35+21）÷365

师：除以4，求的是什么？除以365呢？

3.思维训练。

李想的语文、数学两科的平均分是92分，英语考了89分，数学、语文、英语三科的平均分是多少？

五、实践作业，课后延伸

师：回到开始的问题，如果小明学了今天的知识还会郁闷吗？为什么？

生：不会了。平均年龄不代表全部，有的人还能活到100多岁呢。

师：要想长寿必须有个好身体，标准的身高体重十分关键。课后请统计全班同学的身高和体重，并计算出全班同学的平均身高和平均体重。再和自己的身高、体重比较，看看你发现了什么？

师：这是我国标准的身高体重数据，大家看一下。为了身体健康要加强运动，愿同学们都有健康的体魄。

反思：

平均数是统计中的一个重要的概念。在小学数学中，它常用于表示统计对象的整体水平，是在第一学段学生已经理解了平均分及除法运算含义的基础上教学的。

《数学课程标准（2011年版）》特别强调从统计学的角度来理解。所以本节课笔者把教学重点放在平均数的意义上，创造性地使用教材，将例1、例2融合在一起，同时将所有人名都设计成本班学生的名字，构建数学思考活动，让学生在具体问题情境中加深对平均数的理解和想象，形成良好的数感。传统教学侧重于从算法的角度理解平均数，这容易将平均数的学习演变为一种简单的技能学习而忽略了平均数的统计学意义。所以笔者从概念本质入手，关注学生的学习和思考过程，深度建构，侧重于探究为什么学习平均数，平均数概念的本质意义和特点是什么，平均数在现实生活中的统计价值等。个人认为本节课有以下亮点：

1.层层深入，引出平均数的重要性。

学生在充当裁判员的过程中，遇到不同的情况：第一轮比赛可以直观看出数据的多少，直接评判；第二轮比赛无法直接判断，可以通过计算总数判断出输赢；第三轮比赛通过“两队人数不同，不能用总数比较”这一思维的矛盾，促使学生進一步理解平均数的意义，进而发现运用平均数作比较的必要性。

2.对比中感受平均数的虚拟性。

平均数的统计学意义是它能刻画和代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个具体数据，但又与每一个原始数据相关，表示的是这组数据的平均水平，这就是平均数的“虚拟性”。为了让学生感悟这一点，教学时我让学生将平均成绩与每个学生的成绩对比，发现平均成绩并不是某一个学生的成绩，其中有的学生成绩有可能高于平均成绩，也有可能低于平均成绩，也有可能和平均成绩相等。

3.输赢中体会平均数的整体性。

平均数反映的是一组数据的整体水平，个人水平不能代表整体水平。在解决完5个男生和4个女生的PK后，我继续提出问题：“男生输给女生，那是不是5个男生个个不如女生呢？”学生进入深度思考，通过观察数据并举例对比发现：男生队虽然输了，但并不是每个男生都输给女生，使学生进一步理解平均数代表的是一组数据的整体水平。整体水平高不代表每个个体的水平高，整体水平低也不代表每个个体的水平低。

4.一个数据的变化感悟平均数的敏感性。

在完成例题后，笔者又设计了一次数学活动：女生队增加一名队员，让学生猜测和想象这位同学踢出什么成绩，女生队的平均成绩不会变；什么情况下平均数会变化，又会发生怎样的变化。这个数学活动把教学推向深入，学生在猜测和想象中感悟到一组数据的平均数会受到这组数据中每一个数据的影响，感悟到平均数的敏感性。

平均数是一个抽象的概念，怎么让学生理解、接受是需要不断思索的。执教完这节课，笔者觉得还有很多不足和遗憾。

第一，在引导学生寻找日常生活中的平均数时，因为课前没有给学生提示和准备，所以学生思考需要时间，而且举例单一。如果笔者在课件中设计出如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等词语的举例，就会打开学生思路。

第二，评价时，激励语言的运用还不太丰富，语言表述还是不够精准，还需要丰富教学语言。

（作者单位：嘉荫县第一小学）

编辑∕韩晓雨