核心素养立意是高考数学命题的基本原则

赵思林 柴文斌 胡富雅

摘 要：核心素养立意是高考数学命题的基本原则.从六个核心素养角度看，2018年高考数学全国卷部分试题的立意一般以某种核心素养为主，兼考其他一个或多个核心素养.

关键词：高考数学；核心素养；立意

40多年来，我国高考数学命题的立意经历了从“知识立意”到“能力立意”，再到“数学核心素养立意”的发展与转变.以数学核心素养立意的高考命题，就是首先确定试题在数学核心素养和能力方面的考查目的，然后根据核心素养和能力考查的要求，选择适当的知识和技能，设计恰当的情境和问题.以“核心素养立意”的试题一般不会只考查某一个核心素养，比如考数学抽象素养，那么命题的一般思路是以考查数学抽象为主，兼考其他一个或多个核心素养.分析2018年高考数学全国卷发现，很多题目同时考查六个核心素养中的几个素养，单独只考某一个核心素养的题目比较少.下面从六个核心素养的角度，对2018年高考数学全国卷部分试题的立意作分析和点评.

一、以数学抽象立意

高度的抽象性是数学的基本特征.数学基本概念的形成、公理体系的建立等都必须经历抽象的过程.数学抽象在几何（如平面几何、立体几何等）、代数（如函数、不等式、排列组合等）、向量、导数中都有广泛的应用.数学抽象可以把具有生产生活背景的实际问题抽象为数学问题，并能够将实际问题用抽象的概念和符号表示成数学模型.因此，数学抽象素养是高考的重要考点.

例1 （2018年全国卷Ⅱ理科11题）已知[f（x）]是定义域为[（-∞， + ∞）]的奇函数，满足[f（1-x）=f（1+x）].若[f（1）=2]，则[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=] .

A. -50 B. 0 C. 2 D. 50

立意与分析1：本题考查抽象函数的奇偶性（对称性）、周期性、数列求和等知识，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.由[f（1-x）=f（1+x）]可知，函数[f（x）]的图象关于直线[x=1]对称，这里需要具有直观想象素养.又由[f（x）]是奇函数，可以推出函数[f（x）]是一个以4为周期的周期函数.

解法1：（略）.

立意与分析2：由立意与分析1知，函数[f（x）]是一个以4为周期的周期函数.本题也可以采用特殊值法，即把函数[f（x）]看成（当成）一个特殊的函数.怎样找到（或构造）这个特殊的函数呢？首先，注意到[f（x）]是周期函数，容易联想到三角函数；其次，由[f（x）]是定义域为[（-∞， + ∞）]的奇函数，可联想到正弦型函数[Asin（ωx+φ）]，由周期[T=4=2πω]可取[ω=π2]，从而，这个正弦型函数可能是[Asin（π2x+φ）]；接着，注意到[f（0）=0]，因此可猜想这个正弦型函数可能是[Asinπx2]；最后，由[f（1）=2]，可把[f（x）]看成[h（x）=2sinπx2].到此，就构造出满足题设四个条件（定义域是[（-∞， + ∞）]，奇函数，[f（1-x）=f（1+x）]及[f（1）=2]）的一个具体函数了，问题就容易解答.

解法2：（用特殊值法）构造[h（x）=2sinπx2].易知[h（x）]满足题目的所有条件，因此可以取[f（x）=h（x）].计算得，[h（1）=2， h（2）=0， h（3）=-2， h（4）=0].

所以[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12][ f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）=2.

故选C.

评注：本题以抽象函数为载体，以周期函数为背景，主要考查了数学抽象素养，也兼考逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.具体地说，为考查数学抽象这一核心素养，题目设计了一个具有奇偶性、对称性、周期性等的抽象函数[f（x）].由于题目中的函数符号[f（x）]、函数方程[f（1-x）=f（1+x）]，以及求和形式[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）]都具有抽象性，因此考生只有破解这些抽象性，才能得到答案.考生要想破解这些抽象性，可以考虑运用“形”的直观性，即是说，利用“[f（x）]是定义域为[（-∞， + ∞）]的奇函数”等价于“[f（x）]的图象关于坐标原点对称”，“[f（1-x）=][f（1+x）]” 等价于“函数[f（x）]的图象关于直线[x=1]对称”，通过画图不难发现[f（x）]是一个周期函数，并且一个周期为4.至此，问题的解答就容易了.对于数学抽象的考查一般有两种方式：一是考查对问题及在问题解决过程中需要运用的数学抽象的方法，如引入符号、把问题一般化等才能解决问题；二是考查对抽象的符号、抽象的函数、抽象的方程、抽象的代数式等的认识、处理和运用，特别应重视充分发掘抽象的数学结构的几何意义.特殊化、直观化、具体化等是解决数学抽象问题的基本思维策略与方法.

二、以邏辑推理立意

逻辑推理是数学根本特色.推理包括合情推理和逻辑推理.逻辑推理是数学思维的基本形式之一.逻辑推理是培养学生理性思维的基本策略和重要抓手.绝大多数高考数学试题都与逻辑推理有关，或能找到逻辑推理的影子.

例2 （2018年全国卷Ⅲ理科16题）已知点[M（-1， 1）]和抛物线C：[y2=4x]，过C的焦点且斜率为k的直线与C相交与[A， B]两点，若[∠AMB=90°]，则[k=] .

立意与分析：本题考查斜率公式、直线方程和抛物线等基础知识，主要考查数学运算等核心素养.若用“算”的方法，需解[y2=4x，y=k（x-1）.]消元，得[k2x2-（4+2k2）x+k2=0]，接着用韦达定理，并用直角坐标或向量法可以做下去，但计算过程较为烦琐.若用抛物线定义和平面几何知识，就可推出抛物线[y2=2px （p>0）]的一个重要性质：以焦点弦[AB]为直径的圆与抛物线的准线相切，并且[MF⊥AB].利用[MF⊥AB]，可大大减少运算量，达到多想少算的目的.

解：设点[A， B]在准线上的射影点分别为[A1， B1]，弦[AB]的中点为[K]，则[AA1B1B]为直角梯形（图略）.显然，点[M]在准线[x=-1]上.

又因为[∠AMK=90°]，

所以[MK=AB2=AF+FB2=AA1+BB12].

因此，[MK]是直角梯形[AA1B1B]的中位线.

所以，点[M]为[A1B1]的中点，且[MK//AA1].

所以，[∠MAA1=∠AMK].

又由[MK=AK]，知[∠AMK=∠MAK].

所以[∠MAA1=∠MAF].

因此[△MAA1]≌[△MAF]（“边角边”）.

从而可得，[MF⊥AB].

所以[k=kAB=-1kMF=2].

评注：本题立意是考查解析几何基本思想方法，即以解析几何知识为载体考查数学运算等核心素养.解析几何的基本思想方法是用代数方法研究几何问题，就是以“算”为主，这当然是通性通法.但对本题而言，这并不是最佳方法.若用抛物线定义和平面几何知识，就可演绎推出[MF⊥AB]，这样就可以极大地减少运算量，享受“多想少算”的乐趣.本题作为填空题，只要画一个草图，上述逻辑推理的每一步的结论都可以在草图上直观地看出来（并不需要一步一步写出来），这需要考生具备直观想象素养.

三、以数学建模立意

数学建模肩负培养和考查学生数学应用意识的重任.修订后的高中新课标在高考和学业水平考试建议中，要求应有一定数量的应用问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理.因此，考查应用意识或考查数学建模是一条长期坚持的命题原则.

例3 （2018年全国卷Ⅱ理科18题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立[y]与时间变量[t]的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量[t]的值依次为[1， 2， …， 17]）建立模型①：[y=-30.4+13.5t]；根据2010年至2016年的数据（时间变量[t]的值依次为[1， 2， …， 7]）建立模型②：[y=99+17.5t].

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

立意与分析：本题考查概率统计中的线性回归模型、折线统计图等基础知识，考查数据分析、数学运算、统计评价等数学素养.由已知数据来预测未来的数据，要求考生具有一定的数据分析能力.

简解：（1）模型①：当[t=19]时，[y=226.1]（亿元）.

模型②：当[t=9]时，[y=256.5]（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.其理由是不唯一的，从略.

评注：本题属于“给定数学模型”的问题.第（1）问较简单，只要不把[t]的值取错，且运算能力过关，就不会有什么困难.第（2）问有几大亮点：一是考查了考生的预测能力，预测能力是杰出人物的重要心理品格.有格言說“预则立，不预则废”，这里的“预”是预测的意思，预测是对事物未来发展（趋势）的提前把握，概率统计具有预测功能.二是考查统计评价，体现统计的预测功能和实用价值.三是通过本题考查考生的高级认知能力，从认知的角度看，评价属于高层次、高水平的认知能力.通过概率统计的学习培养学生高层次认知能力，是一条非常有效的教学策略.四是考查考生的书面表达能力.五是第（2）问是一个（结论）开放性问题，这是因为第（2）问的理由的说明方法不唯一，属于结论开放性问题.开放性问题是高中新课改和教育部考试中心大力倡导的，应予重视.

四、以直观想象立意

想象是人类大脑最奇妙的现象之一.想象是人类进行创造性思维活动最基本的思维方式.直观想象是指借助于图形（图象）、表格、模型等数学直观性材料而产生的想象.直观想象包括利用图形描述、立意与分析数学问题等.想象包括直观想象和非直观想象.立体几何承担着培养和考查空间想象能力的重任.在学习立体几何时，看图、画图、判图（判断图形）、想图（想象图形）、用图（应用图形）、构图（构造图形）等是培养空间想象素养的有效方法.数形结合是训练直观想象有效的途径.在教学中，不能只重视通过几何的学习来培养直观想象素养.教师也应适当关注非直观的想象的培养，让学生把不直观的数学对象想象成直观的对象，把直观的数学对象想象成不直观的对象，这需要非凡的想象力.

例4 （2018年全国Ⅰ卷理科12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面[α]所成的角相等，则[α]截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）.

A. [334] B. [233] C. [324] D. [32]

立意与分析：本题以正方体为立体模型，考查了直线与平面所成的角的概念、多面体的截面、多边形的面积等知识，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.先考虑把正方体切去一个大角（就是把同一顶点所引的三条棱全部都切掉），切去的这个大角上的三条棱所在直线与这个截面所成的角都相等，由此推出，切去大角的截面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等.再由正方体的对称性，找出与此截面平行且全等的另一个截面，则最大截面应位于这两个平行截面的正中间，如图所示.

解：（略）.

五、以数学运算立意

数学运算体现“量化”的数学观，是数学重要的基本素养之一.运算能力是高考考查的重点之一，大部分题目对运算能力都有一些要求.数学运算一般是逻辑推理、数学建模和数据分析的基础性素养.数学是需要算的，但并不提倡硬算、蛮算、繁算，而是提倡“算”“想”结合，多想少算.

例5 （2018年全国卷Ⅲ理科12题）设[a=log0.20.3]，[b=log20.3]，则（ ）.

A. [a+b

C. [a+b<0

立意与分析：本题考查对数的运算、对数函数的性质和不等式的性质，主要考查数学运算等核心素养. 题目中两个对数式的真数相同，以及各选项中都含有[a+b， ab]结构，因此考虑把[a+b， ab]化成含有[1a，1b]的形式. 不难得到[a+ba?b=1a+1b=log0.30.4>1]，即可获解.

解：观察发现：题目中两个对数式的真数相同，考虑到对数的底数相同时才便于运算，换底得[1a=log0.30.2]，[1b=log0.32].再注意到各选项都含有[a+b， ab]结构，因此可考虑把[a+b，ab]化成含有[1a，1b]的形式.易知[a+ba?b=1a+1b=log0.30.2+log0.32=log0.30.4>1].又因为[a>0，b<0]，所以[ab<0，a+b<0]，因此[ab