对高中函数模块教学中问题解决的探究

叶燕忠

摘 要：高中函数模块教学中的问题解决，可以通过让学生体验数学知识的形成过程、探求问题解决的切入点、深耕数学对象的内在本质这样一个过程来达成.

关键词：函数模板；问题解决；数学知识；数学对象；数学信息

目前的高中数学教学存在概念处理简单、解题过于单一、信息聚散力弱等问题.本文拟通过对高中函数模块教学中问题解决的探究，让学生体验数学知识的形成过程，探求问题解决的切入点，深耕数学对象的内在本质.

一、重数学概念的理解——体验知识的形成过程

数学玩的是概念与思维.任意角、古典概型、平面、向量等概念，相对别的概念来说内容较为简单，但却是各数学分支的初始性概念和發展的基石. 教学不能只停留在传授语言文字层面的结论性知识，而应把知识作为探究的对象，让学生体会、掌握其背后所蕴含的数学思想方法和思维方法，充分挖掘和利用知识的思维训练价值，引导学生对知识从“工具性理解”走向“关系性理解”，最后到“创新性理解”.

【案例1】人教A版高中数学必修4《任意角》第一课时教学时，关于正角、负角的引出这一简单知识点，教师往往会直接告知学生正负角是约定俗成的东西，规定：按逆时针方向旋转所成的角为正角，按顺时针方向旋转所成的角为负角.

那么是否应该追问：这个约定俗成是基于什么？为什么规定逆时针为正？

学生：比如水龙头的开关方向，逆时针是打开，顺时针是关闭；比如在操场上跑步是按逆时针方向的……

继续追问：这些都是人为的，不是浑然天成的.你能举出别的例子吗？

学生：地理上，北半球中的一些自然现象，比如水的旋涡和台风中心都是逆时针方向的涡旋形（见图1、图2）.

学生：天体运动的方向是逆时针等.

追问：你还能举出什么例子？

学生：人旋转一圈，多数是逆时针旋转的.

从而发现正负角的规定是符合自然规律和人的本能的，让学生感受到这个规定不是随性而为的，是有充足理由的.探究正负角名称的来历，可以使课堂精彩纷呈，让学生回味无穷，从而实现学生对正负角规定的理解从“工具性理解”走向“关系性理解”.

【案例2】《幂函数》教学中，对于幂函数的定义：形如[y=xα（α为常数，α∈R）]的函数，往往与指数函数一对比后，确定函数的结构特征后，就开始研究五个常考的幂函数的图象和性质，对教材上补充的一般只研究[α∈Q]这一条件，仅限于对有理数指数[α=qp，p ， q∈Z]引起不同的图象特征的幂函数进行研究.

笔者在教学此课时，运用几何画板演示幂函数的各种图象特征，设计两种作图方法，在演示的过程中，学生发现这样一个问题：

作法1：幂函数[f（x）=xqp，][其中p， q]的数值通过键盘输入，每组数据都能得到对应的完整的函数图象（如图3、图4、图5）.

作法2：幂函数[f（x）=xα]，其中[α]的数值通过[x]轴上构造的任意点A的横坐标提供，在点A运动变化过程中，得到的函数的图象始终在第一象限（部分含原点）（如图6）.

探究1：为什么作法2的图象会有丢失？

学生：作法1中的数值通过键盘输入时[α=qp]始终是有理数，作法2中[α]的数值是全体实数，既有有理数也有无理数，但是无理数书本上提到不作研究要求，会不会是无理数影响了图象的完整性？

探究2：是否尝试探究一下指数是无理数的幂函数的图象？考虑特殊的情形：[f（x）=x2].

探究过程中可以尝试引导学生运用一列有理数逐步逼近[2]的方法：

[f（x）=x1.4=x75，定义域为R；]

[f（x）=x1.41=x141100，定义域为0，+∞；]

[f（x）=x1.414=x707500，定义域为0，+∞；]

[f（x）=x1.4142=x70715000，定义域为0，+∞；]

[f（x）=x1.41421=x141421100000，定义域为0，+∞；]

……

当指数逐步逼近[2]时，预测定义域为[0，+∞]；

不妨取指数为[-2]，则可预测定义域为[0，+∞] .

可猜测[f（x）=xα]可看成指数[α]是有理数收敛于该无理数对应的函数，所以根据上述特例猜想其定义域为[0，+∞]或[0，+∞]，所以用作法2获得的幂函数的图象只出现在第一象限（或含原点）.

追问：那么当指数[α]是有理数时的部分图象去哪了？

学生：被无理数给吞没了.

所以我们在研究幂函数时指数的取值要剥离无理数，只研究有理数.

通过充分挖掘简单细节展开探究，可引导学生对知识的理解从“工具性理解”走向“关系性理解”，最后到“创新性理解”.

二、重数学对象的确定——探究问题解决的切入点

有些数学问题很明显能获得这样的信息：只需要把题设中信息的研究清楚就可以解决问题，其中确定数学对象为解题的关键，主要有三个确定的背景：函数、方程、不等式，其中方程、不等式进行适当的等价变换后可以构造一个函数或两个函数，立足于构造的函数解决问题.但是函数的选择是否适切关系到能否顺利、快速、精准地解决问题.因此下面的案例从三种不同的数学对象选择入手进行剖析，获得一题多解的解题方向.

【案例3】（2018年全国高考II卷第21题）已知函数[f（x）=ex-ax2].

（1）若[a=1]，证明：当[x≥0]时，[f（x）≥1]；

（2）若[f（x）]在[（0，+∞）]只有一个零点，求[a].

此题主要考查学生的运算能力、直观想象、数学建模等核心素养，运用分类讨论、数形结合、函数与方程的数学思想方法来解决问题.

以下是第一小问解题思路.

思路1：第一步确立待研究的数学对象为：[f（x）=ex-x2（x≥0）]；

第二步求函数[f（x）=ex-x2（x≥0）]的最小值为1.一般情况下，求一个函数的最值，需要判断函数的图象特征，从而确定最值点的位置.导数这一工具可以作出函数的大致图象，从而求出最值.

第三步得出结论成立.

思路2：欲证[f（x）=ex-x2≥1（x≥0）]，只需证[ex-x2-1≥0]，所以可确定待研究的数学对象为[g（x）=ex-x2-1（x≥0）]，并运用导数工具求其最小值为0，具体步骤同思路1的求解步骤.

但思路1、思路2运用导数求解，需要求两次导，才能探究出函数的图象，对学生来说有一定的难度.所以可以考虑另外探寻新的解法.

思路3：欲证[ex-x2≥1（x≥0）]，只需证[ex-x2-1≥0（x≥0）]，即证[ex≥x2+1（x≥0）]，只需证[exx2+1≥1（x≥0）]，因此可确定待研究的数学对象为[h（x）=exx2+1（x≥0）]，运用导数求其最小值为1，即可得证.

思路4：根据思路3可知只需证明[x2+1ex≤1（x≥0）]，因此可确定待研究的数学对象为[R（x）=x2+1ex（x≥0）]，运用导数求其最大值为1即可得证.

思路5：根据题意，只要证明[ex≥x2+1（x≥0）]成立，我们把这个不等式看成两个函数图象的上下位置关系，即确定函数[y=ex（x≥0）]的图象在[y=x2+1（x≥0）]的图象的上方.以两个函数[y=ex（x≥0）]和[y=x2+1（x≥0）]作为研究对象，以形助数来直观想象抽象的不等关系.只是此类方法，写法步骤表述上相对不够严谨，适合在选择、填空题中运用.

以下是第二小问解题思路.

思路1：已知函数只有一个零点，所以可以去探究函数的图象，结合图象确定只有一个零点的图象特征，然后转化为含有[a]代数关系式解决问题.因此可以确定研究的数学对象为[f（x）=ex-ax2（x>0）]，运用导数工具分类讨论此函数的性质与图象，过程相对比较烦琐，运算能力要求较高，图象的变化趋势也需考虑周全，才能解答完整，此解法能力要求高，属于难题. 但可以结合函数本身的数的特征把[a]的研究范围缩小到[0，+∞].

思路2：函数只有一个零点可以转化为[关于x的方程ex-ax2=0（x>0）]只有一个实数解，转化为[y=ex（x>0）]和[y=ax2（x>0）]只有一个交点，数形结合，如图7所示可观察发现当两个函数在第一象限相切时，为极端情形，此时的[a]即为所求，从而解决问题. 但是此时两个函数的图象都是曲线，作图判断易产生偏差.

思路3：我们在思路2的基础上进行改造，改造成一直一曲的两个函数来求解，即转化为两个待研究的数学对象[y=exx（x>0）]和[y=ax（x>0）]只有一个交点的问题.如图8，可观察到两个函数在第一象限相切时是极端情形，此时的[a]即为所求，从而解决问题.

思路4：继续改造成方程[exx2=a（x>0）]只有一个实数解，确定研究的数学对象为[y=exx2（x>0）]和[y=a（x>0）]的图象，结合已知条件判断只有一个交点时[a]的取值问题.

如图9，可观察到两个函数在第一象限相切时是极端情形，此时的[a]即为所求，从而解决问题.

思路5：继续改造成方程[1-ax2ex=0（x>0）]，确立待研究的数学对象为[g（x）=1-ax2ex]，结合已知条件探究[g（x）=1-ax2ex]的图象与[x]轴只有一个交点时[a]的值.但是运用导数探究函数时同样需要进行分类讨论，不过可以先缩小[a]的研究范围.

三、重数学信息的聚散——深耕数学对象的内在本质

解答数学问题最关键的一个环节是在理解题意的前提下，从中获取尽可能多的信息，同时获取一些隐含的信息，因为每一条信息都具有唯一性，将这些信息聚合在一起鉴别后进行后处理，比较问题解决所需要的信息和后处理的信息是否一致，从而鉴别是否能解决问题.解决问题后，是否能把后获得的新信息进行发散联系，探究生成新问题，深耕这个研究的数学对象的内在本质. 其中提取信息、聚合信息、发散性对学生来说是难点，因此我们在数学解题教学时，需要对学生进行适切的引导，以帮助学生顺利解题.

【案例4】已知函数[f（x）=3（x3+2x）].

點[P]是[f（x）]上任意一点，[F1（2，23） ，]

[F2（-2，-23）]，则[||PF1|-|PF2||=] .

解题剖析：

信息1“[f（x）=3（x3+2x）]”可提取得到新信息“[f（x）]是对勾函数”.

信息2“点P是任意一点”可加工得到新信息“[不妨设Px，y]”.

信息3“[F1（2，23） ，F2（-2，-23）]”.

信息4“[||PF1|-|PF2||=] ”.

信息1、2、3、4聚合后处理可得到信息5“||PF1|-|PF2||=

[x-22+（33x+23x-23）2][-x+22+（33x+23x-23）2]”.

信息6“所求值是定值，若是定值，那么这个函数是否就满足双曲线的定义？”

信息5通过数据处理可以计算得到.

信息7“[||PF1|-|PF2||=][43<|F1F2|=8]”，把此信息进行发散联系，由此深耕得：

信息8“[f（x）]的图象是双曲线”这一对勾函数内在本质的东西，获得新的信息：

信息9“对勾函数的图象是双曲线型”，继续发散联系，可设置新的问题情境：

信息10“请求出对勾函数的对称中心及对称轴方程”.