变换 数学解题中一道亮丽的风景

湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 (邮编：430312)

湖北省武汉市黄陂区第一中学 胡 萍 (邮编：430300)

法国科学家贝尔纳曾指出：良好的方法使我们更好地发挥运用天赋的才能，而拙劣的方法会抑制才能的发挥，可见解决问题时选择一种好的方法至关重要，这既能使我们高效快捷地达到目的，又有利于我们提升能力．本文结合实例谈谈数学变换在优化解题中的巧妙应用．

1 平移

解由y=x3-6x2+13x-9得y=(x-2)3+(x-2)+1，它的图象可由奇函数y=x3+x的图象向右平移两个单位，向上平移一个单位得到，先来考虑问题的简单情形：

点评例1中的函数图象都是中心对称图形，经过平移将对称中心移至坐标原点，简化了问题，优化了解题过程，体现了转化的思想.

2 对称

例2 (武汉市2019届高三二月调考第12题简编)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，关于x的不等式f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为______.

点评将问题归结为两个我们较为熟悉的函数图象间的位置关系解决，观察出m(x)与n(x)的图象关于直线y=x对称，将问题化归为其中一个函数图象与直线y=x的图象位置关系是关键，考验学生的直觉思维．

3 伸缩

点评利用伸缩变换将椭圆还原成圆，增强了图形的“几何特征”，为借用平面几何方法解决问题创造了有利条件．

4 旋转

当且仅当4k2+1=k2+4，即k=±1；

综上四边形ABCD面积的最大值为5．

点评抓住四边形的面积仅与点M同圆心的距离有关这一本质，借助旋转，将点M移至坐标轴上，简化了直线方程的形式，减少了计算．

从以上几例不难发现，无论是平移、伸缩还是旋转，本质上都是将复杂的问题简单化，体现了数学中转化的思想，对图形进行合理变换能降低计算难度，明晰解题方向，优化解题过程，是一种很好的解题策略.