瞄准通法 凸显过程——记一节高三一轮后的复习课

安徽省淮南市教育局中小学教研室 (邮编：232001)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年)》明确指出“高中数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.”教学目标的实现要靠学生在学习过程中不断积累基本的活动经验，并运用已有数学知识及其所蕴含的数学思想方法去解决问题，由此在此过程中感悟数学学习的价值和作用，提高学生的数学素养.

历年高考数学考试大纲均明确将“注重通性通法，强化特殊技巧”作为一条重要命题原则.这就是要求教师提高对所教内容的理解水平，增强辨别和判断能力，并在数学中引导学生去分析、总结、体会哪些是“雕虫小技”，哪些是“通性通法”，逐步提高学生的解题能力和数学素养，最终落实数学学科的育人功能.

高三教学后期(一轮已结束)尽管复习已到位，但需要对一系列相对零散知识与方法进行重组，构纬联经，形成网络.但正是因为如此，教师的教学组织更要彰显“过程”与“通法”，充分调动学生的主动性.以下结合笔者听评的一节高三复习课，以求“管中窥豹”，并向各位求教与汇报.

2 课堂实录

出示一道经典例题：

师：请问这道如何求解，请大家发表看法.

师：这个方法不错，不妨称之为判别式法(投影生1解题过程).

师：本题还有其它解法吗？

生2：由生1的设法y=kx表示直线，(x-2)2+y2=1表示圆，故还可以利用直线与圆的位置关系来求解.

师：这个想法很自然，我们称之为几何法(投影生2的解题过程).

师：本题是否仅有此两种解法呢？

生3：还有更简洁解法，几乎可以“秒杀”！

师：还有如此玄妙的解法？赶快贡献出来与我们一同分享吧！

注意|OC|=2,|AC|=1,则∠AOC=∠BOC=30°，故

师：这个方法以形助数，借形解数，妙不可言，称之为数形结合法.本题已有三种解法，估计差不多了吧？

生4：还有一种解法.

师：请你说说看.

生4：可利用圆的参数方程进行三角换元解决(投影生4的解法).

师：刚才大家一共找到四个办法共同解决了一个问题，可谓“异曲同工”.那么在以后解题应该如何选取最有效的方法呢？接下来再看几个题目，请大家思考，讨论下列各题可采用什么方法？(引导学生先讨论再回答)

师：为何不用几何法？

生5：因为目前我们还不能从几何直观上判定直线与椭圆位置关系.

师：很好！那么“数形结合”你是如何求解呢？

生5：过原点向椭圆引切线，求出切线斜率.

师：如何求切线斜率？

生5：利用判别式.

师：那么该“数形结合法”本质上说仍是判别式法.故本题通法为“判别式法”与“三角换元法”.(解题过程略)

变式2 若实数x、y满足x2+xy+y-3=0,试求2x+3y的最值.

生6：本题只能用判别式法.

师：请说一说你的理由.

生6：因为x2+xy+y-3=0只是一个二元二次方程，其几何意义并不清楚.

师：很好！看来“判别式法”是一个无所不能的好办法，应该算是我们常谈的“通性通法”，那么它会不会也有“失败”的时候呢？

变式3 若实数x、y满足(x-2)2+y2=1,试求x2+y2+2x-4y的最值.

师：这道题可用判别式吗？为什么？

生7：不可以，因为所求结果不是一次式，不能进行消元.

师：那么它该如何求解呢？

生7：可用三角换元(投影生7的解法)

令x=cosθ,y=sinθ,

原式=(2+cosθ)2+sin2θ+2(2+cosθ)-4sinθ=9-2(2sinθ+3cosθ)

生8：本题也可用数形结合，因为x2+y2+2x-4y=(x+1)2+(y-2)2-5，其中

师：生8解法很有思想，数形结合，魅力无穷.

生9：刚才生7说x2+y2+2x-4y不是一次式，事实上，所求代数式可转化成一次式求解，故还可用判别式.

师：真的吗？说说你的发现.

生9： 由(x-2)2+y2=1，知x2+y2=4x-3，故x2+y2+2x-4y=6x-4y-3，可用判别式求解.

师：非常正确，转化成功，这个方法老师都没想到！让我们为他鼓掌!(掌声四起)

课堂小结：

本节课我们集中研究了在二次方程(一般不含xy项)限制性条件下，求代数式的最值问题.主要结论小结如下：

若被求代数式为线性(或可转化为线性)，则可用“判别式”法求解，即“判别式”法是求解该问题的“通性通法”.

若已知条件可转化成圆或椭圆方程，则可考虑采用三角换元求解：若被求代数式又有明显的几何意义(斜率与距离)也可用数形结合求解.

3 感悟升华

3.1 “一轮后”复习也要重视“过程”

应该说随着课程改革的推进，教师在新授课的教学中，教师的教学观或多或少都发生了改变，探究活动，合作学习也常见于课堂.然而在高三一轮后复习备课的教学中，课堂再次被教师独霸，常见的教学是教师提前编写讲义，发给学生练习(或测试)，教师结合学生错误多的地方进行重点订正.如此简单随意的教学，把习题课变成订正课，很难保证复习效率.即便在重点题型讲解上，也只是在炒剩饭，突出表现在以下两方面：一是对同一个题目采取一题多解，各种解法平行推进，以教师的讲解代替学生的思维，再以类似题进行固化的训练.然而一旦题目稍有变化，学生便感到“十八般武艺，样样不通”，教学的效果大打折扣.二是未能很好地将相关知识点进行“串联”，形成有机的整体，造成学生认知上的困难，学生的能力并未真正提高.本节课从一个简单而又不失经典的题目入手，全方位展示该题的多种解法，每一种解法都不是教师给出，而是由学生根据提议和结论，不断进行升级与改造，充分给学生时间，做足“过程”.为了进一步让学生逐个感悟到各解法的适用对象，课堂上将原题进行适当的变式，制造冲突，让学生时刻处于兴奋状态，让复习课也充满新鲜感.

“灌输”虽然也可以让学生获得知识，但失去了直觉、感悟和乐趣；而关注“过程”的教学在让学生获得知识的同时，却在发展着学生的思维，感受着数学的魅力，在生命层次上体验学习的乐趣,感悟数学的教育价值.

3.2 “一轮后”复习更要突出通法

本节课的题目引例虽然简单，但方法多样，倘若不慎，会让学生有“钱多不知如何花之感”.为此，在后续的教学安排中，不断变化条件与问题，最终让学生体会到“判别式法与“三角换元”作为解决此类问题的“通性通法”的威力与“魅力”！虽然问题较多，但由于问题设计条理清晰、层次清楚、设问自然，会有“忽如一夜春风来”的顿悟.

诚然，“通法”不能由教师简单地告知，而应当让学生去亲自体验与感悟.本节课教师似乎没有给学生任何解题“妙招”，而只是在追问学生“你是怎样想的”“还有什么想法”“为什么不能这样想”“为什么可以这样想”这些追问其实引导学生挖掘精彩背后的“通法”之源，充分暴露学生的思维过程，加深学生对知识的理解和运用，用“火热的思考”去替代“冰冷的美丽”，从而提升学生思维的品质.

3.3 学生是“一轮后”最具活力的资源

在高三复习后期(一轮复习已结束)，学生对高中数学知识体系、思维方法都有了较系统的掌握.加之，他们对同一个问题思考角度不同，一定会带来不同的解题策略与方法，正所谓“众人拾柴火焰高”.在教学中，教师应注重对课堂最具活动的资源——学生的开发.如教师可以通过设置恰当的情境，让学生去探索、讨论、讲解，对于同一个问题，引导学生从多个角度去分析探究，鼓励一题多解；对于同一类问题，引导学生从中抽象概括出本质属性，总结规律和方法,强化通性通法，最终提升学生的解决问题的能力.