由一个45度角想到的

2019-04-18江苏省昆山市费俊龙中学邮编215300

中学数学教学 2019年2期

江苏省昆山市费俊龙中学 (邮编：215300)

关键字 45度；旋转；相似；全等

45度角是初中几何经常碰到的特殊角,遇到45度角，往往会联想到等腰直角三角形、正方形等特殊的几何图形，并进而衍生出一系列有意思的结论.在平时的解题中，如果我们做到解法多样，同时找到题目的原始模型，并进行适当的变式训练，掌握正确有效的解题方法，相信就可以避免题海战术，从而增加解题的乐趣.

1 问题原型

图1

例1 如图1，已知等腰直角三角形ABD中，点M和点N在斜边BD上，且满足∠MAN=45°，求证：BM2+DN2=MN2.

证法1 旋转法

图2

如图2，将△ABM绕点A逆时针旋转90度得到△ADM′，可得△ABM≌△ADM′，所以∠ADM′=∠B=∠ADB=45°，故∠M′DN=90°，所以DM′2+DN2=M′N2，因为∠BAM+∠DAN=45°，所以∠DAM′+∠DAN=45°，即∠M′AN=45°，由SAS可得△M′AN≌△MAN，所以BM=DM′，MN=M′N，故BM2+DN2=MN2.

证法2 对称法

图3

本题是等腰直角三角形及正方形45度角模型中的一道经典题目，下面笔者想针对这一模型对例1做进一步的推广和研究，我们发现有关这个模型的结论可以说是“源源不断，用之不竭”.

2 拓展1

本例主要是借助与正方形有公共点的45度角模型，运用旋转的相关知识，抓住旋转前后的一些对应关系来挖掘出一系列结论.

图4

例2 如图4，如果将等腰直角三角形ABD沿BD翻折，我们可以得到正方形ABCD，若∠MAN=45°，延长AM与BC交于点P，延长AN与CD交于点Q，设正方形边长为1，我们可以进一步证明以下结论：

(1)BM2+DN2=MN2；

(2)△CPQ的周长等于2；

研究对象选自2015年12月至2017年12月本院诊治的急性糜烂出血性胃炎大出血患者100例,随机对其进行分组,分成50例研究组和50例对照组,所有患者均知情同意参与本次研究。其中研究组50例患者中男性患者34例,女性患者16例;年龄在52-80岁,平均年龄(69.81±11.2)岁;主要临床表现为呕血和便血。对照组50例患者中男性患者33例,女性患者17例;年龄在51-79岁,平均年龄(68.34±10.93)岁;主要临床表现为呕血和便血。研究组与对照组在性别、年龄以及主要临床表现等方面对比无明显差异,P>0.05,无统计学意义。

(3)PQ=BP+DQ；

(4)点A到线段PQ的距离等于1；

(5)AN=NP；

(6)AM=MQ；

(7)连接MQ,NP交于点O，则AO所在直线垂直于PQ；

(8)△AMN的面积为△APQ面积的一半；

(10)PQ2=2(BM2+DN2).

证明(1)结合例1，易证.

图5

(2)如图5，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转90度得到正方形ADST，因为∠PAP′=90°,所以∠PAQ=∠P′AQ=45°，又因为AQ=AQ，PA=P′A，根据SAS可得△PAQ≌△P′AQ，所以P′Q=PQ，所以△PCQ的周长=PC+CQ+PQ=P′S+CQ+P′Q=2.

(3)由旋转的性质可得P′D=BP，PQ=P′Q，因为P′Q=P′D+DQ，所以PQ=BP+DQ.

(4)因为△PAQ≌△P′AQ，所以∠AQP′=∠AQP，同时∠ADQ=∠AHQ=90°，AQ=AQ，根据AAS可得△ADQ≌△AHQ，所以AD=AH=1.

(5-6)因为∠PAQ=∠DBC=45°，故A、B、P、N四点共圆，由此得∠ABD=∠APN=45°，故△APN为等腰直角三角形，即AN=PN，同理可得AM=QM.

(7)设线段PN，QM交于点O，由(5-6)可得AN⊥PN，AM⊥QM，所以点O为△APQ的垂心，根据三角形的三条高交于同一点，可得AO⊥PQ.

(10)由于BM2+DN2=MN2，因为由(9)得PQ2=2MN2,所以PQ2=2(BM2+DN2).证毕.

图7

思考接下来我们探究如何寻找点P、点Q，使之符合上述题目条件.如图6，以A为圆心，线段AB长度为半径作圆弧，易知必经过点D，在圆弧上任取一点T，过点T作圆A的切线，根据切线长定理可得PB=PT，QD=QT， ∠BAP=∠TAP,∠DAQ=∠TAQ，易证∠PAQ=45°，反之如图7，若PQ所在直线与圆A相离，做直线P′Q′∥PQ且与圆O相切，可得∠PAQ<∠P′AQ′,故∠PAQ<45°.同理若PQ所在直线与圆A相交，可得∠PAQ>45.

综上我们得到以下结论：当且仅当PQ所在直线与圆A相切时，∠PAQ=45°.