“任意”还是“存在”

安徽省颍上第一中学 (邮编：236200)

1 缘起

笔者所在学校最近进行了一次五校联考，理科第20题与文科第21题为同一题，其中第二问的参考答案引起了部分老师的质疑，并且在教研会上进行了激烈的探讨.试题及参考答案如下：

2 教研质疑与困惑

图1

此时问题似乎聚焦到对区间[a,b]的理解上去了，那么问题1中的区间[a,b]前面被省略的量词到底是理解为“任意”还是“存在”呢？如果在问题1中重新还原被省略的量词，又该如何还原呢？大家在尝试给区间[a,b]添加量词的过程中发现，无论是添加量词“任意”还是“存在”，阅读起来都会非常拗口，而且也使得问题更加难以理解，教研一度陷入困境！

3 回归集合，再度质疑

事实上，求含参数问题的最值或取值范围时，通常不对参数附加量词，而是先将其固定为“常数”，再求它们的取值范围.笔者认为量词的添加困难主要来源于问题1中的“关系式”是从关系式所确定的“集合”中分离出来的[1]，所以应该回归到集合关系.由此在教研会上提出将问题1等价转化为

一石激起千层浪，笔者的提议很快遭到了其他老师的质疑，质疑的内容主要为两点：一是根据问题4，可以得出b-a的取值范围为(0，10π)，这样就说明问题1与问题2并不是对立问题，与我们的认知相冲突；二是问题3与问题4都回避了对区间[a,b]添加量词的做法，虽然一般不对参数附加量词，但是并不代表不能附加量词.

4 深度教研，答疑解惑

为了探究问题的“真相”，笔者尝试用以下例题来加以说明.

例1设集合A={0}，若(a,b)中含有A中的元素，求b-a的取值范围.

例2设集合A={0}，若(a,b)中不含有A中的元素，求b-a的取值范围.

显然例1与例2中b-a的取值范围都是(0,+∞).从而写出以下两个真命题，即

命题1设a0，则b-a的取值范围是(0,+∞).

命题2设a

由于“取值范围”具有充要性，因此命题1与命题2的否命题应该也是真命题.但是在不附加量词的情况下，容易对命题1与命题2的否命题产生误解，所以参考文献1的做法，可以分别改写成

命题3设a0，使得y=b-a，则y∈(0,+∞)[2].

命题4设a

显然，命题3的否命题是

命题5设a0，都有y≠b-a，则y∉(0,+∞)[3].

而命题4与命题5并不是等价命题，所以例1与例2也就不是对立问题了.由此笔者对同仁们的质疑作出回应：首先问题1与问题2，即问题3与问题4并不是对立问题；其次问题3与问题4都可以对区间[a,b]添加量词“存在”，从而改写成

问题5与问题6表明问题1与问题2中的“至少存在”和“至多存在”是针对集合A而言的，而区间[a,b]都可以附加量词“存在”.

5 结束语

为什么很多教师，甚至资深老教师都会被问题1与问题2所困惑呢？笔者认为这是对区间[a,b]和数值b-a进行不等价转化而造成的，前者是集合，后者是该集合的测度，两者不可混为一谈.若设集合I={M|M⊆R}，问题1中区间[a,b]∈D1，问题2中的区间[a,b]∈D2，那么D2是D1在I中的补集.但是所求问题是“b-a的取值范围”，即D1与D2中元素的测度的取值范围F1与F2，如果想当然地认为F2是F1在R中的补集，就会错误地认为问题1与问题2是对立问题.同样地，问题1可以简略地表述为：“若[a,b]∈D1，则b-a的取值范围是F1.”其中[a,b]∈D1是问题1中的条件，而不是所求问题的结论，否则就会造成理解上的困惑.所以笔者建议该类问题都应该回归到“集合”的角度去分析，这样可以有效消除问题中量词被省略后带来的理解误区.