促进深度理解的概念教学策略

张优幼

【摘要】概念是学生学习数学的种子，所有学习活动都离不开对概念的理解和应用。概念学习是一种自主建构的过程，需要引发学生深度理解概念的本质属性：在基础性教学中建构，借助结构化的材料，对概念进行多元表征，经历概念从过程到结构的理解;在支持性教学中应用，借助原型和变式，糾正概念的认知偏差，经历概念的多重建构、解构和重构;在整合性教学中联通，建立概念网络节点的联系，实现大单元的网络建构。

【关键词】概念教学 策略 建构  深度理解

概念的准确建构，需要引发学生的思考，不断对概念进行深度理解，在概念形成或概念同化的过程中，循序渐进地自主建构、调整优化认知结构，从而形成概念网络。

一、指向建构的基础性教学策略

数学概念的学习一般要经历以下四个阶段：概念操作—概念意象—概念定义—概念运用。这四个阶段的学习是循序渐进、依次推进的。因此，在概念教学的初始阶段，借助结构化的材料，在具体操作中建立表征，实现表征之间的转换，经历概念过程到结构的理解。

1.实现概念外部表征间的转换

概念的形成，离不开建立相应的表征。莱什提出数学学习的五种表征：实物操作、图像、文字符号、口头语言、现实情境。动作表征是指学生的思维必须借助与实物或具体物的实际操作活动来达成;

图像表征是指具体物消逝时学生能依据实物的影像在头脑中制作心像来进行内在的思维活动;符号表征是指学生已经能直接对数学符号进行思维操作。对于同一个知识点，学生可以体验显性的言语表达，欲言又止的缄默知识，形象的实物对应抽象的文字符号。在这不同的形式中，任意两种表征之间都可以相互转化（如图1）。在多种形式的表达中，不断地反复感知相关内容。借助这多元化的表征，让相同的数学概念在不同的情境中反复，从而迁移运用先前经验，反思抽象、内化提升。

在多元表征中逐渐丰厚概念意象，积累活动经验。事实上，学生经历了数学本质一致性、多样化的数学活动，在交流、讨论与反思等活动的作用下，他们的原初经验得以改造和提炼，完成了概念意象从低层次到高层次的生长和丰厚。

如整数乘法口诀的理解和教学，通过读、写、画等数学活动（如图2），将口诀的意义在多种形式中表达。当我们说学生理解了乘法口诀时，在一定程度上就是指他们能够理解与应用乘法口诀的不同表征。

我们在概念教学中不应唯一地强调其中的任何一个成分，而应当更加重视各个方面之间的联结，并应帮助学生逐步学会如何能够依据情况与需要，在这些成分之间灵活地做出转换。

2.经历概念过程到结构的理解

学生在概念的表征和转换过程中，还需要关注他们是否经历从过程到结构的理解。学生的表征并不一定是概念的定义，而可能是与概念定义同构、拟同构成的表象或概念的自我修改形式。学生自我建构形成的与概念直接联系的“整体性”认知结构，即概念意象。概念意象形成是把操作中获得的具体动作与信息逐渐转化成抽象定义的过程，包括相应的心智图像，对其性质的认识和有关过程的记忆等。概念教学的一个主要目标就是要帮助学生建立起关于各个概念结构化的心理表征。

如在数概念的教学中，从小棒计数到人民币写数，再到半抽象的结构化计数器，最后对应抽象的数位顺序表，是一个借助具体半结构化的材料理解数的建构过程。教学中以百元、十元、一元人民币的动态飞跃计数，学生在想象中对应相应的数位写数，在按数序写数的过程中逐渐抽象成数位顺序表，这是概念的意象，也是数概念逐步抽象的建构过程。大数的认识就是在万以内数的认识基础上，脱离了借助实物建构数位的过程，直接抽象成大数在对应的数位上认识数、读写数。

二、指向应用的支持性教学策略

当学生已经对概念有了一定的理解后，我们就应该进行支持性的概念教学，可以让学生在变式中进一步抽象，纠正认知偏差，在应用中多重建构、解构和重构。

1.适时运用概念的原型和变式

原型在数学概念学习中具有积极作用，实际上是与数学概念具有自然概念的特征相联系的。数学概念同时又是科学概念，是人工定义的概念。学习数学概念最终必须掌握其本质属性，这些本质属性在概念各种例子中是相同的，但由于许多无关特征的干扰，使得概念的本质属性往往隐藏得很深，仅从原型的标准特征上难以把握其本质特征。因此，必须通过各种变式比较，排除由具体对象本身的非本质属性所造成的干扰，才能充分揭示概念的本质属性，真正形成概念。在概念学习的过程中，这些带有大量的非本质属性的概念实例就构成了概念的变式。

在三角形高的概念教学中，学生仅在原型的认识上很难理解高的本质。（如图3，过A点画BC边上的高）当把三角形进行位置旋转或形状变换后，学生就会遇到困难。通过原型经验引发变式，在变式中引发认知冲突，引导学生从定义出发，再次解读概念，抽象出高的本质属性：过一点画垂线，从而排除图形位置和形状引发的概念非本质属性的干扰，深度理解对边和垂线的关系。

2.多重经历概念的建构和重构

学生的概念学习不是对知识进行复制的过程，而是以自己原有的经验系统为基础，对新的知识进行编码，通过新旧知识和经验间反复的、双向的相互作用过程，以自己独特的方式对已有的建构进行选择、修正，并赋予新知特有的意义。这个过程是别人无法替代的，其实质是建构、解构与重构的循环往复：学生用经验建构自己的理解，而新知的进入使原有认知结构发生调整和改变，新旧经验的冲突会引发原有观念的转变和解体，最后完成认知结构的重组。在建构新概念的过程中不断建立联系，这不仅是指同一概念不同表征之间的联系，也是指不同概念之间的联系。

例如：在“7的乘法口诀”练习过程中，学生通过对计算结果的比较，感悟前后两句口诀之间的联系，加深对算式和口诀的意义理解。以图来解释口诀，以形象来丰厚抽象的表征，引发学生对口诀的再一次表征，让隐形语言显性化。借助形的支撑，学生在几何直观中进一步解读乘法的意义，也为长方形的面积学习积累经验（如图4）。有了这样丰富的建构、解构和重构过程，学生对乘法意义、口诀结构的认知将更加稳固、完善。

三、指向联通的整合性教学策略

学生对概念有了清晰的建构，还需要关注概念的前因后果，对概念进一步梳理，那么我们应该进行整合性的教学，促进学生深度理解、联通相关概念，形成概念网络。

1.建立概念网络节点的联系

概念的三个核心：是什么，为什么，怎么样？概念教学的核心思想是在联系中进行教学。概念学习需要与更多的知识建立更丰富的联系，处在网络里的概念节点可以组合成一个统一的家族，它们既有共同特征的抽象概括，又有具体例子的形象表征。联系是概念网络的重要组成部分，概念网络具有纵向和横向两个维度，纵向反映概念的“层次性”，横向反映概念的“丰富性”。因此，任何一个概念的教学，都不是孤立存在的，需要有横向的比较和纵向的发展，这样才有利于学生的意义建构，才能在解决问题时有效激活和应用。以一节课推想到一类课，以一类课带动一个领域的教学内容，以一个领域的教学凸显一门学科的教学价值。

例如：在多边形的面积梳理中，从梯形的面积公式S=（a+b）×h÷2出发：当上底越来越长，和下底长度相同时，就成了平行四边形S=（a+a）×h÷2=2a×h÷2=ah;当上底越来越短，长度为0时，就成了三角形S=（0+b）×h÷2=b×h÷2;当上底和下底长度相同，而且四个角是直角时，就成了长方形，高相当于宽，S=（a+b）×h÷2=（a+a）×b÷2=ab;而当a=b时，又成了正方形，S=a×a。根据这些图形的特征，学生通过动态想象和公式推导，又一次沟通概念之间的联系，把各个知识点联结起来，长出一个立体结构的认知网络（如图5）。

2.大单元背景下的网络化建构

概念的教学，还应该有大单元的视野，将概念教学的内容主题化，解读不同阶段的学习任务，从中比较共性、异性，实现教学结构化、网络化，有利于概念的迁移、抽象和建构。以“类”区分：思考成“类”的整体性，突显一类课的共性可迁移性;以“序”渐进：关注成“序”的递进性。以学生为主体的数学活动，是一个不断打破原有认知结构的平衡，发生同化或顺应组建新的认知结构的过程。学生的认知序在结构化的整体教学中更容易得到迁移和发展。

例如：对于整数概念的教学，针对学生的认知特征，关注认知节点，应该对整个认知体系进行定位和解读（如下表）。从中不难发现，学生的认知起点不同，学生对数的感知体验是循序渐进的。因此在认识100以内的数时，借助直观形象模型理解的数学概念，从直观的材料出发，从逐一计数到按“群”计数，感知结构化的学习材料，沟通数概念间的前后联系。

总之，在基础性、支持性和整合性的概念教学中，应该围绕着概念的本质属性，关注学生在概念建构过程中的思维路径，暴露學生的认知偏差，让学生经历多重的建构、解构和重构，建立概念间的联系，形成概念网络，凸显概念内涵，促进学生对概念的深度理解。

【参考文献】

[1]李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社，2005.

[2]朱乐平.“整数乘法口诀教学研究”校本教研活动方案[J].教学月刊（小学版），2012（10）.