数学思想方法在数学解题中的运用尝试
2019-04-15季子怡
季子怡
【摘要】 数学思想方法作为学习的重难点，掌握数学思想方法等同于掌握了数学学习的核心.但是对我们而言，数学思想方法的运用难度较大.因此，下文主要围绕数学思想方法在数学解题中的运用进行研究.
【关键词】 数学;高中;数学思想方法
掌握数学思想方法不但有助于我们把握数学知识脉络，而且有助于构成数学知识体系，提升数学解题能力.在高中数学学习中，思想方法作为重难点，包含许多内容，比较常见的是数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.下面就以这些方法为例展开分析.
一、数形结合思想
高中数学研究的主体对象是数与形，两者具有密不可分的关系[1].数形结合作为一种十分常见的数学思想方法，在实际应用中主要分为以下两种情况：其一，借助数据的准确性来描述形的某种特征;其二，借助几何图形的直观性来描述数与数之间的某种联系.简单地说，数形结合分为两种类型，一是“以数解形”，二是“以形助数”，具体解题过程以下题为例：
已知f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0 A. -3，- π 2 ∪（0，1）∪ π 2 ，3 B. - π 2 ，-1 ∪（0，1）∪ π 2 ，3 C.（-3，-1）∪（0，1）∪（1，3） D. -3，- π 2 ∪（0，1）∪（1，3） 由图像可知：0 当-3 二、函数与方程思想 函数思想，简单地说是利用函数的性质与概念，将问题转换成可以解决的问题.方程思想则是以数量关系为基础，结合数学语言将实际问题中的未知条件及已知条件转换成数学模型，既可以是方程、不等式，又可以是方程与不等式的混合，在此基础上计算求解方程（组）或不等式，从而得出正确答案[2].函数涉及的知识点比较多，一直是考试的重点，我们需要提高对此方法的重视.当前比较常见的集中题型：一是遇到变量过程中，依据实际情况构造函数关系，从而顺利解题;二是求解有关最值类的问题时，借助函数观点分析数学条件;三是遇到多种变量的问题时，我们需要从中选取最佳的主变量，揭示函数间的关系，顺利解答问题.以下题为例： 如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：① a= 3 2 ;② a=1;③ a= 3 ;④ a=2;⑤ a=4.当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由. 建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.设Q（a，x，0）（0≤x≤2），∵PQ =（a，x，-2），QD =（-a，2-x，0），∴由PQ⊥QD，得PQ ·QD =0，∴a2=x（2-x）.∵x∈[0，2]，∴a2=x（2-x）∈（0，1]，∴在所给数据中，a可取 3 2 和a=1两个值. 三、分类讨论思想 事实上，每个结论都有自己成立的所需条件，每种数学方法的使用也存在一些特殊要求，在我们解题过程中，由于部分问题的结论存在不稳定性，所以不可以只是用一种解题形式去对其展开探究，分类讨论思想应运而生[3].在解答实际问题过程中，我们将数学问题按照一定规律与要求，分成若干个问题来解，这一解题思想被人们称之为分类讨论思想.分类讨论的类型有许多种，具体如下：第一，与数式相 关的分类讨论;第二，三角形中的分类讨论;第三，圆中的分类讨论.以下题为例： 如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（ ）. A.3 B.3或 4 3 C.3或 3 4 D. 4 3 解析：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP= 1 2 ，AC=2，① 若△APQ∽△ACB，则 AP AC = AQ AB ，即 2 4 = AQ 6 ，解得AQ=3;② 若△APQ∽△ABC，则 AQ AC = AP AB ，即 2 6 = AQ 4 ，解得AQ= 4 3 .∴AQ的长为3或 4 3 .故选B. 四、转化与化归思想 转化与化归思想不只是一种常用的解题思想，也是一种应用广泛的思维策略.在解题过程中应用化归思想方法，收集已知与未知量，将其转换成简单易解的问题，不但能降低解题难度，而且有助于提升我们的解题效率.同时，化归在数学解题中十分常见，主要功能是：将我们原本陌生的知识转换成较为熟悉的内容，将复杂、难以理解的知识转换为简单的内容，将抽象、难以理解的知识转换成形象具体的内容，以此降低解题难度.以下题为例：在三角形ABC中，若三边a，b，c满足c2=a2+b2，则三角形ABC是直角三角形，现在请你研究：若cn=an+bn（n>2的自然数），问三角形ABC为何种三角形？为什么？ 五、结束语 综上所述，数学思想方法作为数学课程的精髓，其在数学解题中无处不在，需要我们深度挖掘.要想提升我们的考试成绩，需要注重日常积累，活学活用数学思想方法，从解题中总结规律，从而不断提升解题能力. 【参考文献】 [1]李贞凌.数形结合思想方法在高中數学教学与解题中的应用[J].学周刊，2017（27）：105-106. [2]林雪.关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨[J].中国校外教育：上旬，2016（5）：71. [3]赵建雄.浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用[J].甘肃科技纵横，2007（6）：184.
