一道函数极限有关的竞赛题的若干解法与延伸

王成强

一道函数极限有关的竞赛题的若干解法与延伸

王成强

（成都师范学院数学学院，四川成都，611130）

借助于等价无穷小量替换技术、L’Hôpital法则、Taylor展开式，给出第十届（2018年）中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛第一题第4小题的10种解答方法。从上述解法的求解过程中得到的启发对该题结论进行了一点拓展与延伸.

大学数学；数学竞赛；函数极限。

0 引言

中国大学生数学竞赛自2009年开始举办，每年一届，由预赛与决赛构成，赛题分为数学专业组与非数学专业组[1-3]. 对中国大学生数学竞赛试题的研究能帮助激发大学生学习数学的兴趣并提升数学的学习效能，帮助教师丰富教学素材并提升课堂教学质量，促进高校完善课程建设并进一步做好数学课程的教育改革[1-3]. （数列或函数）极限理论是定积分、反常积分、级数、曲线积分、曲面积分、重积分等诸多理论的基础，对整个大学数学的学习与研究都起着关键性作用[4-6]. 中国大学生数学竞赛中的极限理论相关的问题重视对基础知识方法掌握的考查的同时，也重视对数学能力的考查，具有很好的研究价值. 本文研究第十届（2018年）中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛[7]第一题第4小题，该题内容完整表述如下：

问题（*）属填空题，形式结构也比较简单，给人以“不用付出太大努力便可解答问题（*）”的印象. 据笔者观察，考生或参与习题训练的学生最直接的想法是借助于L’Hôpital法则解答问题（*），但经尝试可发现，解答过程中涉及到的求导运算比较复杂，容易让人犯错并进而丧失解题信心. 事实上，解答问题（*）需要较高的科学计算能力与灵活创新运用极限理论相关知识的能力. 因此，问题（*）能力立意突出且区分度极高. 本文拟对问题（*）进行多解探究并基于探究经验给出问题（*）的一点拓展延伸.

1 解法举例

1.1 基于等价无穷小量替换技术的解法

方法2 借助于方法1中用到的无穷小量的等价关系，有

方法3借助于方法1与2中都用到的无穷小量的等价关系，有

并利用方法1，2，3及5中都用到的无穷小量的等价关系，有

1.2 基于L’Hôpital法则的解法

方法7 直接利用L’Hôpital法则，有

方法7 经等价变形，借助于极限的性质与L’Hôpital法则，有

方法8 借助于方法4的解答思路与L’Hôpital法则，有

1.3 基于Taylor展开式的解法

2 拓展延伸

证既可仿照方法1的解答思路，也可直接借助于定理1，完成推论1的证明. 为免冗长，故略去证明细节.

3 结束语

本文借助于等价无穷小量替换技术、L’Hôpital法则、Taylor展开式，给出了第十届（2018年）中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛第一题第4小题（问题（*））的10种解答方法，并从这些基于这些解法的求解过程中得到的启发，给出了问题（*）结果的一点拓展与延伸（见定理1与推论1）.

[1]王成强. 一道不定积分竞赛题的命题分析与解法探究[J]. 保山学院学报, 2019,38(2):1-4.

[2]王成强. 一道大学数学竞赛题的若干换元积分求解方法[J]. 绵阳师范学院学报, 2019,38(2):6-10.

[3]王成强. 一道大学数学竞赛题的多种解法与推广[J]. 高师理科学刊, 2019,39(3):19-23.

[4]华东师范大学数学系. 数学分析(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2010.

[5]同济大学数学系. 高等数学[M]. 第6版. 北京:高等教育出版社, 2007.

[6]王成强. 一例经典函数极限题的教学探究[J]. 贵阳学院学报(自然科学版), 2019,14(1):6-8.

[7]第十届中国大学生数学竞赛组委会. 第十届中国大学生数学竞赛预赛试题(非数学专业类)[EB/OL]. http://www.cmathc.cn/article/114.html, 2018-11-05

[8]窦慧. 一道考研题的三种解法及其启示[J]. 大学教育, 2014(6):91-92.

Several Ways to Solve and Relevant Extension of a Competition Problem concerning Function Limit

WANG Cheng-qiang

By means of the technique of subsutituting equivalent infinitesimals, L’Hôpital’s rule and Taylor’s polynomial expansion, 10 ways are provided to solve Question 4 of Problem I in preliminary contest(for non-mathematics-majored students) of the 10th Chinese College Students’ Mathematics Competition in 2018. Extension of the concerned question is derived from illumination from solving process of the aforementioned solutions.

college mathematics; mathematics competition; function limit.

O172

A

1009-1114（2019）04-0051-06

2019-10-28

王成强（1985—），四川武胜人，博士，成都师范学院副教授，从事数学控制论与数学教育的研究。

国家自然科学基金（11701050，11571244）；四川省教育厅项目（18ZB0098）；成都师范学院校级培育项目（CS18ZD07）；成都师范学院校级教改项目（2017JG13）。

文稿责编 李艳午