三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用

2019-04-13广东省珠海市斗门区第一中学519100陈水松

中学数学研究(广东) 2019年6期

关键词：外接圆共线动点

广东省珠海市斗门区第一中学(519100) 陈水松

一、三角形四心的表述与性质

(一)重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心.重心将中线长度分成2: 1 的两部分.

证法1设O(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3),是△ABC 的重心.

证法2如图1,因为所以所以A、O、D 三点共线, 且O 分AD 为2:1,所以O 是△ABC 的重心.

图1

2.若O 是△ABC 的重心, 则S△BOC= S△AOC=

证明由所以(反之也然)故O 为△ABC 的重心.

(二)垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.

证明如图2 所示H 是三角形ABC 的垂心, BE 垂直AC,AD 垂直BC,D、E 是垂足.同理为△ABC 的垂心.

图2

(三)内心——三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心.

⇔O 为△ABC 的内心.

证明因为所以所以所以

证明因为O 为△ABC 的内心, 故所以

(四)外心——三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心.

2.若O 是△ABC 的外心, 则S△BOC: S△AOC:S△AOB= sin ∠BOC : sin ∠AOC : sin ∠AOB = sin 2A :sin 2B :sin 2C.

证明设△ABC 外接圆半径为R, 则S△BOC=, S△AOC=sin ∠AOC, S△AOB=又∠BOC = 2A,∠AOC = 2B,∠AOB =2C, 所以S△BOC: S△AOC : S△AOB = sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB =sin 2A:sin 2B :sin 2C.

二、应用举例

例1 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足λ ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析如图3 所示△ABC,D、E 分别为边BC、AC 的中点.因为所以因为所以所以所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心,即选C.

图3

例2O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点, 动点P 满足λ ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析因为分别为方向上的单位向量,所以平分∠BAC,所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心,即选B.

例 3O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点, 动点P 满足λ ∈[0,+∞), 则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析如图4 所示AD 垂直BC,BE 垂直AC,D、E 是垂足.所以点P 的轨迹一定通过△ABC的垂心,即选D.

图4

例4(2018 ·重庆三模)已知点I 为△ABC 的内心,AC = 2, BC = 3, AB = 4, 若则x+y =____.

解析因为点I 为△ABC 的内心, 所以其中O 为任一点, a,b,c 为三角形三边.因此所以

例5(2016 ·福州质检)在△ABC 中, BC = 2,A = 45°, B 为锐角, 点O 是△ABC 外接圆的圆心, 则的取值范围是( )

解析由题意得取BC 的中点D,连接OD,AD,则OD⊥BC,所以= 4 sin2C -4 sin2B = 2 cos 2B-2 cos 2C = 2 cos 2B - 2 cos(270°- 2B)= 2 cos 2B +2 sin 2B =又45°＜2B+45°＜225°,所以所以即选A.

例6(2016·四川卷)在平面内,定点A,B,C,D 满足-2,动点P,M 满足则的最大值是( )

解法1由题意,因为所以D 到A,B,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心.所以DB⊥AC.同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,从而D 是△ABC 的垂心,所以△ABC 的外心与垂心重合,因此△ABC 是正三角形,且D是△ABC 的中心,所以所以正三角形ABC 的边长为以A 为原点建立如图5 所示的平面直角坐标系, 则由设P 点的坐标为(cos θ,sin θ), 其中θ ∈[0,2π).由可知M 是PC 的中点, 所以M 的坐标为则当时,取得最大值