“数学建模”核心素养视阈下中美高中数学课程标准的比较研究—以“函数”内容为例

贵州省贵州师范大学数学科学学院(550001) 杨旭

1.研究背景

随着全球化课程改革运动的潮流,我国近年来对于“课程”这一概念越来越重视,全面深化课程改革势在必行.美国是美洲的发达国家之一,是一个文化多元的经济强国,“他山之石,可以攻玉”,用比较研究的方法来观照国家之间的课程思想及课程实践,借鉴有益经验,对于推动我国的教育改革和教育研究具有重要的意义,关于数学课程标准的比较研究,主要是从数学课程标准的某一具体内容的深度或者广度进行比较研究[1]-[4].数学教育的本质应是一种素质教育,而教育的起点与归宿是人,旨在促进人的全面发展,通过实现个人价值来推断社会发展,我国课程改革的指向是追求以核心素养为目标的价值取向,改变了传统的“知识本位”的教学理念,随着课改潮流,围绕核心素养这一目标来组织课程改革已经成为我国热门的研究课题,近年来我国学者进行了一系列的相关研究,主要是对数学核心素养的内涵及其培养途径进行探析[5]-[8],对于基于数学核心素养的某一视角下去比较研究数学课程标准的具体内容的分布较少.

数学建模可看成是问题解决的一部分,虽然它的作用对象更侧重出现于非数学领域(如物理、生物、医学、经济等学科),但需用数学工具来解决生活中的问题,数学建模的思想与方法可培养学生的创新精神和实践能力.函数内容是高中数学的核心内容之一,中国数学课程标准中函数内容是必修和选择性必修的主要内容,而在美国标准中“函数”内容也是主要知识点之一,因此,选择“函数”部分的内容具体地比较中美数学课程标准的“数学建模”素养.

2.研究设计

2.1 研究对象

本研究的对象为中国、美国现行的高中数学课程标准,具体包括: 我国教育部2017年颁布的《普通高中数学课程标准》(2017年版)(以下简称《课标》)[9]、美国2010年由全美洲长协会与美国各州首席学校官员理事会联合推出了《共同核心州数学标准》《Common Core State Standards for Mathematics》(以下简称CCSSM)[10].

2.2 研究问题

本研究基于“数学建模”核心素养视阈下,对两国高中数学课标的“函数”部分进行中观与微观层面的研究.基于中观层面,研究中美“数学建模”核心素养具体内容、呈现形式、表述形式的异同点;在微观层面上,研究“数学建模”素养与内容进行融合的表现形式,及其在“函数”各个知识点的重视程度.

2.3 研究思路及方法

我国《课标》中“数学建模”是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.并且强调了数学建模的过程主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题[9].通过梳理, 数学建模主要是从现实问题中抽象出数学问题,并且用数学的方法、语言去解决与表达现实问题, 对于《课标》中涉及“通过/结合具体实例”、“通过实例”、“在具体/现实情境中”、“针对具体问题”、“通过已知的数学实例”、“从现实情境中”、“结合现实情境的具体问题”、“刻画实际问题”、“解决简单的实际问题”、“借助/通过实例”、“通过实例分析”、“通过……,了解……的实际背景”、“结合有限样本空间”“描述现实生活中简单的……”、“能根据实际问题的特点”、“刻画现实世界和解决实际问题”等,均以知识点条目数进行编码统计.

基于中美两国数学课程标准,以定性与定量相结合的研究方法进行比较.首先,分析两国“数学建模”素养的内容及其与“函数”各个知识点融合的表现形式;其次,对两国课标“函数”内容条目数就涉及“数学建模”素养进行编码并统计,以知识点要求个数为单位进行编码统计,并将频数转化为百分比,考察“数学建模”素养占“函数”知识的比重,进而,比较其重视程度.

3.研究内容

3.1 中美两国课标的“数学建模”核心素养的比较

3.1.1 课程目标的比较

“数学建模”既是中美两国高中数学课程标准的实施的教学目标之一,又是两国高中数学课程标准内容的重要组成部分之一,并与其它知识内容相互联系,相互渗透.通过比较,发现:

两国课标的“数学建模”素养的描述有两点相同之处: 第一,两国认识到培养学生的“数学建模”素养需要与现实生活相联系, 感悟数学与现实之间的关系.我国标准均在“感悟数学与现实之间的关联”、“学会用数学模型解决实际问题”等有涉及,美国CCSSM 均在“具有数学素养(mathematically proficient)的学生可以运用他们所知道的数学知识去解决日常生活、社会和工作中出现的问题”、“具有数学素养的学生,他们可以应用他们所掌握的数学知识轻松地做出假设,近似地简化复杂的情况, 并意识到以后可能需要不断地予以修正”等有提到.第二,两国均阐述了数学建模的过程包括在现实情境中以数学的角度发现问题,分析问题,做出简化假设,分析内在规律,改善模型.我国标准在数学建模的过程提出:在实际情境中从数学的角度发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.美国CCSSM 有强调“学生应用他们所掌握的数学知识轻松地做出假设,近似地简化复杂的情况”、“可以数学地分析这些关系,并得出结论”、“检验数学结果是否有意义”等.

有两点不同之处: 第一,两国对于数学知识与技能的要求不同.我国标准强调“通过高中数学课程的学习,学生能有意识地用数学语言表达现实世界”、“学会用数学模型解决实际问题”等.美国CCSSM 提出,基于数学建模实践标准视阈下,需要与小学、初中、高中各个阶段学习的内容相结合并运用到具体的现实情境中去解决问题.第二,强调使用的数学工具不同.我国标准提出“数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段”,未涉及到具体的数学工具.美国CCSSM 提出使用诸如图表、双向表格、图像、流程图和公式等数学工具来建立模型,并且学会在实际情境中能够运用所学知识去对此做出假设,进而简化该情况.

3.1.2 课程内容的比较

中国的内容主题固定,必修课程与选择性必修课程中包括函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四部分内容,必修课程还涉及到了“预备知识”这一部分内容,通过以上分类,统计出涉及“数学建模”素养的内容条目数(见表1),以便了解中国课标涉及数学建模的内容分布.

表1 中国《课标》涉及数学建模的内容分布

注: 此处需要说明的是,由于两国将“数学建模”知识模块以课题研究的形式开展, 所以都均未涉及到知识点个数,则本研究以数字“0”计数.表2 亦如此.

结果表明: 我国《课标》中“概率与统计”涉及数学建模素养的内容有25 条,大约是“函数”(17 条)的1.5 倍,居于第三的是“几何与代数”,有12 条,“预备知识”涉及的有6 条.

图1 中国课标涉及数学建模的总体内容分布

再将中国《课标》涉及数学建模的内容条目数转化为百分比(如图1).在所有涉及数学建模素养的内容中,“概率与统计”最多,占42%;其次是“函数”,占28%;“几何与代数”占20%,位居第三;“预备知识”仅占10%.

美国CCSSM 高中阶段的主题包括数与数量、代数、函数、数学模型、几何、统计与概率六部分内容,通过以上分类,统计出涉及“数学建模”素养的内容条目数(见表2),以便了解美国CCSSM 涉及数学建模的内容分布.

表2 美国CCSSM 涉及数学建模的内容分布

结果表明: 美国CCSSM 中“概率与统计”涉及数学建模素养的内容有31 条,大约是“函数”(13 条)的2.4 倍,居于第三的是“代数”,有8 条,“几何”涉及的有6 条,相对较少的是“数与数量”,仅占3 条.

图2 美国CCSSM 涉及数学建模的总体内容分布

再将美国CCSSM 涉及数学建模的内容条目数转化为百分比(如图2).在所有涉及“数学建模”素养的内容中,“概率与统计”最多,占51%;其次是“函数”,占21%;“代数”占13%,位居第三;“几何”占10%,“数与数量”仅占5%.

通过以上比较,可以知道,中美两国对于“函数”与数学建模的联系均视为同等重要的地位,均在各国课标中排名第二,在某种程度上说明,此为本研究增加了一定的可行性,为本研究提供了一定的支持.

3.2 中美两国课标“函数”内容中“数学建模”素养的比较

研究我国必修课程、选择性必修课程当中的“函数”知识主题与美国的“函数”知识主题对中美两国文本内容进行分析.中国《课标》函数内容包括;“函数概念与性质”、“幂函数、指数函数、对数函数”、“三角函数”、“函数应用”、“数列”、“一元函数导数及其应用”, 美国CCSSM 函数内容包括“函数概念(Interpreting Functions)”、“建立函数(Building Functions)”、“线性函数、二次函数与指数函数”、“三角函数”,通过梳理两国课标“函数”知识点,结合中美两国高中数学课程标准中“函数”内容的实际情况,将“函数”领域比较研究的具体内容归为“函数概念与性质”、“特殊函数”、“数列”、“其他函数内容”,如下表所示:

表3 “函数”知识单元理论分析框架及编码体系

3.2.1 函数的概念与性质

从“函数的概念与性质”的具体知识点来看,美国课标知识点相比于中国《课标》,除了收集关于函数形成与发展的历史资料并撰写小论文之外,既包含了我国课标所涉及的知识点,还含有美国本身所特有的数学知识点,如: 线性函数、二次函数、平方根函数、立方根函数、有理函数、多项式函数、复合函数、对称性等.

美国课标关于涉及“数学建模”数学实践标准内容的知识点用带*来表示,其“函数的概念与性质”主要涉及“数学建模”素养的相关知识点包括函数的特征、函数与图像、函数的平均变化率、会画函数图像、函数与现实情境等.我国主要涉及“数学建模”素养的相关知识点包括函数的表示、分段函数的应用、函数模型的应用等,相比之下,美国涉及“数学建模”素养的知识点内容丰富且详细.根据其知识点的要求表述,我们可以看出,两国都侧重于学会表达,美国注重函数与具体情境的联系,强调用函数去描述具体的情境,并注重用计算机技术绘制多种函数,从而更好地理解函数的主要特征,而我国强调的是根据情境的需要选择合适的方法表示函数、从具体实例中了解分段函数并能应用等,均是通过具体的情境抽象出数学问题,相比之下,我国注重的是数学内部之间的“数学建模”,而美国则是数学与外部世界的“数学建模”.

我国《课标》中“函数模型的应用”包含了函数零点与方程解.二分法求近似解等知识点.我国“数学建模”思想在“函数”这一知识主题上大都体现在了“函数的应用”这一知识点,用函数构建数学模型的基本过程体现在“探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解”,强调的是知识形成的探索与体验过程.在“函数与数学模型”中,强调选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,体现函数模型在现实情境中的重要作用; 要结合具体问题, 利用计算工具, 比较函数模型的差异,并要求在其他非数学领域中体会函数模型的现实意义.美国CCSSM 涉及到了结合具体情境来写出函数表达式,在情境中理解函数参数的意义,用函数模型去解决实际问题等,相比之下,我国在“函数应用”这一知识点对于“数学建模”核心素养的培养比较重视,且涉及的范围比较广.

3.2.2 特殊函数

在“特殊函数”中的“幂函数”这部分内容的知识点,需要注意的是,美国CCSSM 提及的是平方根函数、立方根函数以及多项式函数.通过分析,可知CCSSM 注重用计算机技术去绘制米函数图像,并从中得到其主要的特征,我国《课标》通过实例引出幂函数概念,结合图像理解幂函数的变化规律,相比之下,美国注重幂函数的作图,借此来加深学生对幂函数的理解,提高学生的动手实践能力,我国对于幂函数的要求程度是“了解”,对于锻炼学生的实际操作能力的要求有待提高.

美国指数函数的内容都涉及到了“数学建模”,美国“指数函数”的内容丰富,且涉及“数学建模”的相关知识也丰富、详细、全面.两国在指数函数与现代技术的关系领域上,都有明确具体的要求.CCSSM 强调用计算机技术求解指数方程的解,我国《课标》规定用计算工具画具体指数函数的图像,探索与分析指数函数的相关性质.两国都注重指数函数与实际问题相联系,CCSSM 注重的是理解指数函数中参数的意义,我国强调的是指数函数的实际意义.CCSSM 还强调了等差数列与等比数列与线性函数(一次函数)、指数函数的模型构建的关系,在我国《课标》的基础上还添加了二次函数的相关知识,并强调学会分析线性函数、二次函数、指数函数的模型,隐含了让学生学会选择恰当的函数模型去分析、解决现实问题.

关于“对数函数”这一知识, 我国“对数函数”的内容要丰富一些,涉及的范围也比较广,我国《课标》中没有直接出现“反函数”的内容,但在“对数函数”中有指数函数与对数函数互为反函数的内容条目,归为“对数函数”,美国CCSSM也归为“对数函数”.CCSSM 没有涉及标注“*”,但从中我们可以发现,美国关于对数函数的学习要求是想让学生学会用对数函数的相关知识去解决现实问题.两国都涉及到了反函数的内容,CCSSM 内容比较详细,强调会求解、验证反函数,并学会借助图像和表格等求反函数的特定值,对于不可逆函数,可以限定它的定义域来求新的可逆函数等,我国《课标》单纯地说明反函数的概念,知道同底的对数函数与指数函数互为反函数.我国《课标》最为之有特色的一条是“通过具体实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.”强调用描点法和计算工具去绘制图像,注重学生的动手实践能力,学会在实践中去分析问题、解决问题.

关于“三角函数”这一部分的知识点内容,我国《课标》中没有涉及到反三角函数的内容条目, 但在人民教育出版社A 版必修4“三角函数”中有所涉及,可归为“三角函数”这一内容, 则美国亦可归为“三角函数”.美国CCSSM 涉及“数学建模”素养均体现在“能画出正弦、余弦、正切三角函数的图像之后, 掌握它们的性质”、“结合具体实例, 了解y =A sin(ωx+φ)的实际意义,能借助图像理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图像的影响”、“会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.”等,强调的是能够绘制正弦、余弦、正切的函数图像,并要借助图像能了解y =A sin(ωx+φ)的参数的意义和它的参数变化对图像的影响,会用三角函数解决实际问题.CCSSM 强调的是,要根据周期的特征来选择三角函数建模,并根据实际情况得到三角方程,还强调了信息技术在三角函数的应用.通过比较,发现两国都重视三角函数在现实情境的应用问题,不同之处在于,CCSSM 重视信息技术的使用,根据所给函数具有的周期特征来选择合适的三角函数模型,相比之下,我国《课标》缺乏更为细致的要求.

3.2.3 数列

对于“数列”这一知识点,美国没有单独设置,但是在“函数”这一知识模块中有所涉及.通过比较发现,美国CCSSM提到,可根据等差数列或等比数列来构建函数模型,我国《课标》规定的是从现实情境中,了解、理解等差数列(等比数列)的概念及其通项公式的意义,更多体现的是“数学建模”过程当中的第一步,最主要就是从现实情境中抽象出等差数列与等比数列概念的数学模型,相比之下,美国更为重视函数与数列的关系,体现“数学建模”核心素养的范围全面一些.

3.2.4 其他函数内容

关于“其他函数内容”,涉及的知识点主要有一次函数、一元函数导数及应用、二次函数、函数与其它知识的联系,如:函数与方程、函数与不等式等,关于“一元函数导数及应用”,我国有单独设置,涉及的知识点条目数有9 条,而CCSSM 没有单独设置,仅涉及一条相关知识点.

我国《课标》涉及“数学建模”素养的知识内容主要是函数的概念及其意义、会求函数以及简单的复合函数的导数、导数在研究函数的应用、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式等, 美国CCSSM 提出“会计算并理解在一个指定区间上函数的平均变化率, 会根据函数图像估计函数的变化率”, 相比之下, 我国涉及的知识点范围相对较多, 内容也丰富, 但在一定程度上, 体现的是内容不够简捷, 有待进一步简练.CCSSM 强调从函数图像估计函数的变化率, 体现的是对数的一种感悟, 我国《课标》不仅强调了数学内部的建模过程(如, 能根据导数定义求函数的导数),也强调了数学在现实情境问题的求解过程,并从情境当中理解相关的知识,如一元二次方程、一元二次不等式等.

3.3 中美两国“数学建模”核心素养内容比重的比较

基于本研究课题内容,经过统计,我国“函数”相关内容的条目数有48 条,加上涉及到“函数与方程、不等式的关系”有3 条,共51 条,涉及“数学建模”核心素养的内容条目数有18 条, 约占“函数”的35%.美国“函数”相关内容的条目数28 条,加上涉及到“函数与方程、不等式的关系”有3 条,共31 条,涉及“数学建模”核心素养的内容条目数有14 条,约占45%,在一定程度上可以说明,美国更为重视“数学建模”素养的培育.关于中美两国“数学建模”素养在“函数”各知识的内容分布,如下表所示:

表4 中美两国“数学建模”核心素养内容数量

注: 由于美国CCSSM 涉及到的“数学建模”实践标准有重复的,所以在统计中,对于重复多少次的条目数归为不同知识类别时,就记为多少分之一,比如,“会计算并理解在一个指定区间上函数的平均变化率,会根据函数图像估计函数的变化率.”重复两次,归类为“函数的概念与性质”和“其他函数内容”,那么,条目数记为二分之一,其他以此类推.

结果表明: 中国《课标》“函数的概念与性质”、“特殊函数”、“数列”涉及数学建模素养的内容各有5 条,“其他函数内容”有3 条;美国CCSSM 中“函数的概念与性质”涉及数学建模素养的内容有5 条,“特殊函数”有7 条,大约是“函数的概念与性质”的1.4 倍,居于第三的是“其他函数内容”,有1.5 条,“数列”涉及的仅有0.5 条,相对较少.

下面研究中美两国课程标准涉及“数学建模”的内容分布(如图3).

图3 中美两国课程标准“函数”涉及“数学建模”的内容分布

结果表明,我国“函数”内容涉及“数学建模”素养主要是在“函数的概念与性质”、“特殊函数”、“数列”内容上,美国“数学建模”主要体现在“特殊函数”内容上; 差距较为明显的当属“数列”内容,我国27.8%,美国仅占3.6%;中美两国在“函数的概念与性质”和“其他函数内容”上相差不大,而在“特殊函数”上不同,美国所占比例相比与中国较大,为50%,由此可看出,美国比较重视在具体的函数知识内容上去渗透“数学建模”思想,我国重视数学建模的体现的特征是宽泛,内容针对性不唯一.

4.启示与建议

4.1 应与每一个学习阶段所讲授内容相配合,将知识运用于数学之外的情境.

从美国CCSSM 实践标准中可看出,美国提倡在每一个学习阶段(小学、初中、高中)运用所学的数学知识去解决问题.“数学建模”思想是孕育在高中数学课程的学习当中,教师可以根据需要将教材的具体的每一章每一节每一课时设置合理的数学情境,从中抽象出数学问题,然后建立模型,求解模型,并且可以引导学生去观察生活中的数学问题,能够运用本节课所学到的数学模型迁移到另一个数学情境去求解数学问题,在此过程中,能够培养学生发现问题、提出问题的能力,培养学生的实践能力.

美国提倡的是利用具体的数学知识去解决现实中的问题,提倡的是数学知识的积累,体现的是在运用数学知识的过程中去理解数学,重视数学知识与现实生活的联系,强调的是先学习理论,再付诸于实践.我国对于“数学建模”核心素养的表述,是从现实情境中发现问题、提出问题,强调数学实践的积累,并让学生认识到数学教学在社会生活中诸多领域的重要作用,两国相比之下,美国对于“数学建模”素养的表述更为详细、具体.

当学生已具备了基本的数学知识与基本技能之后,在教师的引导下,根据学生的认知情况,给定一个现实生活中的问题,培养学生自主思考、动手实践的能力,经历一个数学建模的过程,体会其中的学习乐趣.真正将数学建模培养学生创造性和实践能力的功效发挥出来,让学生将理论与实践结合起来,在实践中设计模型、完善模型、解决实际问题,提高学生建模能力与综合素质.

4.2 结合我国知识点内容,建议我国的课程标准对于涉及“数学建模”核心素养的内容用标识符标记.

美国用“*”标注以引起对“数学建模”的关注,是便于教师在教学过程中注重这方面知识与“数学建模”素养的渗透,利于引导学生学习.

4.3 注重用具体的函数去表达具体的现实情境.

数学模型是将学生所学习的数学知识与现实世界或者是数学情境结合在一起,数学建模是学会选择用恰当的数学工具去分析和解决问题.美国在“函数”这一知识主题上用“*”标记了大量与“数学建模”有关的内容,通过对“数学建模”素养在“函数”内容知识点的统计,发现: CCSSM 重视具体的函数模型在现实情境中的应用,强调用函数去描述具体的情境,在问题解决过程中理解函数,相比之下,我国注重的是数学内部之间的“数学建模”,而美国则是数学与外部世界的“数学建模”,CCSSM 更接地气,学生学起来比较容易理解函数.

4.4 需注重函数建模与信息技术的结合.

两国都重视运用现代信息技术将函数内容的学习进行结合, 并通过它绘制函数图像来理解、掌握函数的主要特征,《课标》涉及信息技术的领域主要是在绘制函数图像,在涉及函数建模的知识点体现信息技术的使用频率较少, 而CCSSM 频繁涉及到了信息技术的使用,我国可根据实际需要利用现代信息技术的优势来辅助我们的教学,帮助学生更好地理解函数的相关内容,更好地培养学生数学建模核心素养.