探索任意四边形的余弦定理

田传弟

(江苏省徐州市铜山区三堡中学 221112)

三角形的三边之间的关系可以用余弦定理表达出来，那么四边形的4条边和2条对角线之间是否存在类似的结论呢？

1 在一组对角互余的四边形中探求结论

在一组对角互余的四边形中有如下命题：

图1

如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，试证明

AC2·BD2=

AB2·CD2+AD2·BC2.

通过网络搜索发现，已有人证明过该命题，作者在证明时构造了辅助圆，构图复杂，证明过程也比较繁琐[1].下面给出简洁证明.

图2

对角互余的的四边形的4条边和2条对角线之间的关系得以解决.

2 在一组对角之和为定值的四边形中探求结论

笔者进一步思考：若四边形的一组对角之和为定值，那么四边形的4条边和2条对角线之间的关系会有怎样的关系？经历一番探索之后，发现如下优美的结论：

如图3，若在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=α，AC，BD为对角线，则

AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

图3

图4

DE2=CD2+CE2-2CD·CEcosα，

所以AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

看看特例：

当α=90°时，即是一组对角互余的特例，cos90°=0，因此结论是AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2；

当α=180°时，cos180°=-1，

所以AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2+2AB·BC·CD·DA，

所以(AC·BD)2=(AB·CD+AD·BC)2，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，这个特例便是赫赫有名的托勒密定理.

上述结论是在凸四边形中研究和证明的，研究发现，它在凹四边形情形仍然成立.

如图5，在凹四边形ABCD中，∠BAD+优角∠BCD=α，AC，BD为对角线.试证明AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

图5

图6

因为∠BAD+优角∠BCD=α，所以

∠DCE=360°-(优角∠BCD+∠BCE)

=360°-(优角∠BCD+∠BAD)

=360°-α，

在△DCE中，根据余弦定理，

DE2=CD2+CE2-2CD·CEcos∠DCE，

所以AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

综上所述，得到结论：

在任意四边形ABCD中，若一组对角之和为α，AC，BD为对角线，则

AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

一个如此优美的结论必须给它一个贴切的名字——四边形的余弦定理.