数学实验：数学抽象素养形成的有效路径

孙朝仁

(江苏省苏州市教育科学研究院 215004)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下简称《标准》)将数学抽象作为数学学科的第一个素养.《标准》明确指出，“数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征”[1].可以说，数学抽象既是数学的基本思想，更是形成理性思维的重要基础.由于“数学源于对现实世界的抽象”而处于核心地位，因此，数学抽象不只是高中生的专属素养，也应是初中生的必备素养.

史宁中教授将数学抽象划分为感性抽象和理性抽象[2].其中，感性抽象是把现实中的一些与数量和图形有关的东西引入数学内部，形成数学概念、数学法则和数学模型；理性抽象是对感性抽象得到的思想材料进行二次抽象，是从“此理性具体”到“彼理性具体”的思维过程.而数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学规律、理解数学知识、验证数学结论的思维活动，其中审美意识渗透于整个活动过程之中.显然，数学实验过程中的操作、思考、运用、审美的过程从某种意义上来说，正是“数学抽象”的过程.因此说，数学实验是数学抽象素养形成和发展的有效路径.

我们认为，数学实验过程中的“操作”与“思考”是感性抽象的通用技术，影响概念本质属性的发生、发展与使用，以及客观理想化抽象以及条件扩张式抽象(弱抽象)的经验水平；而“运用”“审美”则是理性抽象的适应性路径，影响概念关系原型的建立，以及强化结构式抽象以及联结关系式抽象的能力水平.

1 基于“操作”的理想化抽象，抽象概念属性

动手“做数学”是数学实验的主体，是初中段学生进行数学学习的基本途径，起于感官认知理解，在揭示概念本质属性的基础上，实现客观理想化抽象.

郑毓信从数学实验的客观性出发，确认数学抽象具有理想化、精确化、模式化的特点[3].理想化数学抽象的基本含义是：一方面，数学源于现实，包括数学概念、数学结论、数学方法是现实世界的反映产物；另一方面，数学高于现实，数学对象是抽象思维的产物，是理想化的知觉产物.如，各种球类、交叉路口等都给我们以“点”的印象.众所周知，数学意义上的点源于千姿百态的生活实物中“点”的形象(如，起跳点等)，但却是去物理属性的“点”，因此“点”没有大小就是数学抽象的结果；还比如，数学研究范畴的线、面是没有粗细之分、没有厚薄之分的，这种去物理属性的数学对象也是数学抽象的结果形态.

动手“做数学”，也即动手操作的本质就是剔除概念物理属性，获得概念或概念本质关系的过程.基于这一意义，可以说“操作”是实现数学抽象的一个起点，是获得数学研究对象及其规律的思想前提.当然，在初中阶段 “做数学”与“基本活动经验”显著相关，“数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀”.为此，“操作”需要做好三个层面的问题导学工作，方能达成理想化数学抽象的目标.一是“情境性”问题导学，落实发生概念抽象的先行组织行为；二是“工具性”问题导学，提高知觉概念发展的抽象水平；三是“关系性”问题导学，建立全息数学结论的通用技术.比如，在研究“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”的基本事实时，就是通过客观理想化抽象实现对概念的把握.

具体设计实施客观理想化抽象过程如下：

首先，让学生研究“交通图”(见图1)，在问题导学基础上，抽象出平行线性质的“存在性”和“唯一性”.其一是，说出图中存在的近似平行的道路形象；其二是，过人民广场与建设路平行的道路有哪几条？其三是，过劳动路与青年路交叉点且与建设路平行的道路有哪几条？在感知基础上，基于生活经验还原平行事实的本来面貌，为概念事实性质的发生提供情境支持体系.

图1

其次，让学生通过“折纸活动”，抽象出平行线性质的“唯一性”.即用一张方格纸任意折平行线，说出你的发现；在A4纸上任意确定一个点，过这个点，折出其中一边的平行线，能折几条？在A4纸上任意确定一个点，并折出一条斜线型折痕，过该点折出与斜线折痕平行的折痕.写出你的发现，由此你有怎样的经验感悟？

最后，让学生通过“画图”，抽象出平行线的“唯一性”.其一是，利用方格纸的格点和格线，画已知点和已知直线的平行线；其二是，在练习纸上，任意确定一个点和任意画一条直线，使用“三角板+直尺”，画出过已知点且与已知直线平行的直线，在抽象出画图经验的基础上，表述平行线的基本事实；其三是，借助“直尺+三角板”验证，进一步感悟在较复杂图形中存在的平行线的“唯一性”特征.

之所以把“操作”作为初中段数学抽象的起点，是因为，一方面有助于知觉认知抽象的适应性发生，能让学习者直觉感知概念的本体特征；另一方面有助于理想化抽象的理性发生，形成概念间的内部逻辑关系.如果说，把“交通图”中的平行关系事实作为情境抽象的载体，那么“折纸活动”就是工具抽象发生的行为，而“画、说平行事实”则是数学关系抽象的一种可表现形式，终于理想化抽象对数学概念认知的积极推动作用.

2 基于“思考”的扩张式抽象，抽象概念本质

在“做”的基础上进行“思考”，做思结合，有助于数学概念本质属性的揭示.在这里，“思考”作为数学实验教学不可或缺的一个重要元素，是概念得以同化的思维模块，是扩张式抽象(弱抽象)的思维“地基”.当然，“直观的看”对于抽象概念本质，探索问题解决的思路并预测结果，其作用也不可低估.

日常教学中，“数学阅读”“赏析图片”“画板演示”等都是以获得概念本质为特征的扩张式抽象的一个个具体行为.换句话说，扩张式抽象就是研究对象的内涵被不断压缩，而外延得以不断扩大，即“原型”思想产生式.像“正比例函数→一次函数→初等函数→函数→映射”“一元一次方程→整式方程→有理方程→方程”就是“函数”“方程”概念扩张式抽象的基本链条.

在数学家麦考莱恩看来[4]，“数学的发展就是利用经验和直觉的洞察力去发现合适的形式结构，对这些结构进行演绎分析，并建立这些结构之间的形式联系.”也就是说，无论是经验利用、直觉洞察抑或结构关系等，都是“思考”的支持系统. 正是因为有了“数学思考”，才使得扩张式抽象得以将知识结构转化为认知结构，进而形成知识形态的系统化、结构化.

有研究[5]认为，学生的数学抽象素养能力发展存在差异，城区学校的学生在数学抽象能力的发展上好于乡村学校的学生等.其实，造成这种差异的主要原因来自于自身的天然优势，城区学生有更多的数学实验资源和装备.当然，这里的数学“抽象”，对处于从形象思维向抽象思维过渡期的初中学生来说，主要是条件性扩张式抽象，关系到知识结构的定量与知识形态的定性，在抽象水平上表现为知觉认知水平的一致性原则.事实上，获得数学“原型”的过程就是扩张式抽象再抽象的过程，贯穿于数学的产生、发展、应用的过程中.

为此，数学实验教学要做好三个维度的扩张式抽象工作：一是基于已有经验，实施“前抽象”反应块，建立概念层级关系；二是基于数学内部关系，执行“主抽象”行为，实现模型顺应；三是基于知识的重组关系，建立“后抽象”支架，落实知识结构性目标，终于数学抽象整体水平的提升.

例如，在探讨“一元二次方程”与“基本图形”的概念关系时，通过设计“思维反应组块”，可以实现扩张式数学抽象.

问题导学：某学校九年级数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究.如图1，已知AB=8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.(1)在点P运动时，这两个正方形面积之和能否是32？24呢？如果是，求出AP的长；若不是，请说明理由；(2)分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由；(3)如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，在点P从A到D的运动过程中，求出PQ的中点O所经过的路径的长.

分析问题不难看出，问题(1)是对方程原型的抽象，是关于方程求解与解释及其根的判别式的使用问题；问题(2)是对基本图形的运动与构造，需要运用分类思想，是关于图形关系的结构性变化的问题；问题(3)是数形结合的基本方法，关系到学生的扩张式抽象能力，以及对动态过程的把握问题.

图1

图2

怀特海在《教育的目的》一书中指出，数学课程的目标是“学生能够通晓抽象思维，能够认识到它是如何应用于特殊而具体的环境，应该知道怎样在合乎逻辑的调查研究中使用一般的方法.”数学抽象是数学的三大能力之一，是培养核心素养的关键目标.这里的“具体应用→合乎逻辑”是模型使用到结构关系建立的表现形式，反映扩张式数学抽象的基本特征，有助于学生形成知识体系.

3 基于“运用”的结构式抽象，抽象概念关系

“学习的最终目的在于运用”.在数学学习过程中，“运用”是最高境界，是数学抽象后的转化，有助于概念关系的深度把握.而深刻认识概念的本质关系，离不开数学“强化结构式抽象”(简称“强抽象”)行为的支持.强抽象的特点是研究对象的外延不断缩小，而内涵不断扩大，有助于把握某一具体事物的某一方面特征，对于概念特征的把握具有不可替代的作用，与“弱抽象”一样都是认识事物的基本方式.

从思维行为来说，弱抽象与强抽象都带有“特殊与一般”的关系特征.如，“四边形→梯形→平行四边形→矩形或菱形→正方形”以及“映射→函数→初等函数→一次函数→正比例函数”的概念链条，通过强抽象，可以使学生更深刻地认识“子概念”的某一方面特征.比如，平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直，正方形的对角线互相平分、互相垂直且相等，等等.通过这些局部特征就能很好地认识基本图形的性质和类型，凸显数学抽象的作用和认识事物的价值.

按照抽象的程度不同，史宁中教授把数学抽象分为约简阶段、符号阶段、普适阶段.对于“运用”数学来说涵盖两方面的强抽象，一方面，认识到现实生活中蕴含大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题(约简阶段)，用数学的方法予以解决(符号阶段)；另一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题(普适阶段).基于强抽象的这些作用，数学实验要做好三个维度的抽象工作：一是在“约简概念或形成概念”中，把握概念的本质特征，落实强抽象的具体化功能；二是在“符号化概念或使用概念”中，构造概念关系特征，提升强抽象的素养水平；三是在“普适概念或使用套路”中，扩充解法体系结构，提升问题解决水平和思维抽象修养，给学生在课堂留下更多的“带得走的东西”.

例如，“圆”概念起始课的教学，基于“强化结构式抽象”的一般原则，具体可从三条主线进行研究.第一是，让学生任意剪一个圆形纸片，交流剪法且观察旋转中的圆形纸片，描述静态圆和动态圆的特征，并举例说明生活中存在的各种各样圆的形态本质；第二是，让学生在剪出的圆形纸片上标出圆心，并在此圆所在的平面上任取一点，连接该点与圆心，通过度量的方式探究半径与圆心距的大小关系.在交流互动的基础上，抽象出点与圆的位置关系；第三是，在问题解决中感受点与圆的位置关系的基本属性，在折叠圆形纸片中抽象出垂径定理，在画图中认识“集合概念”的一般意义.这些子概念的内涵特征的把握与形成就源自于强化结构式抽象的反复作用.

强抽象是形成数学概念的核心.尽管目前义务教育阶段还没有明确确立数学抽象的核心素养地位，仅在高中课程标准中给出明确的说明.但是“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构造数学模型、寻求结果、解决问题的过程”的宗旨就是数学抽象核心素养地位得以确立的标志.

柯朗在《什么是数学》一书中指出，“一切数学的发展在心理学上都或多或少地基于实际的，但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免的会使它自身获得发展的动力，并超越出直接实用的局面.”这里的“心理实际范畴”与运用数学高度相关.一方面，数学实验的本质是一种具有实际意义的心理活动，促进概念认知理解；另一方面，数学实验在抽象与被抽象中获得自支持性发展，让概念抽象性有了具体可触特征.

在抽象“圆”这一概念中，“剪出+旋转”圆形纸片的行为是约简概念阶段，确立“点与圆的位置关系”的实验过程是符号概念抽象过程，三个维度运用数学概念是普适概念的抽象阶段.事实上，三个阶段抽象本身就是一种强抽象—弱抽象—强抽象的思维逻辑顺序，是对概念的思考与再思考的过程.

4 基于“审美”的关系式抽象，抽象概念原型

“数学是这样一门科学，在其中我们既不知道说的是什么，也不知道说的是否为真.”(罗素语)；“数学是唯一的这样一门学科，在其中我们确切知道自己在说什么，并能肯定自己是否为真.”(波莱尔语)前者可以看作是“自然要求多样性”的审美行为，而后者可以看作是对“理性要求一体性”的思维本义，反映数学实验审美属性的两个侧面.一方面，是数学抽象对象所反映出的自然美；另一方面，是数学联结关系所体现出的理性美，二者在用“审美”中由对立走向统一，这就是数学实验的独特价值.

数学实验过程中的“情境创设”(由拼纸片得到因式分解公式就是一个典型的情境创设范例)就是自然美的一种使用原则，而从数学内部关系(如，基于多项式乘法运算的逆思考建构因式分解概念则是解析二者内部关系的典型范例)建设概念关系则是理性美的一种具象.从某种意义上来说，数学实验的创新就是表现在将数学对象的自然属性与理性属性并轨，体现数学实验的审美价值.一般地，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳概括得到猜想和规律并加以验证则是创新的重要方法.事实上，创新的基础、方法以及核心，都与比格斯(John Biggs)教授提出的SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome，观察到的学习结果的结构)评价理论[6]高度相关，突出“抽象拓展结构水平”(Extended Abstract Level)(需要通过推理、演绎的理性，提出具有普遍意义的猜想)审美的一般属性特征.

在史宁中教授看来，初中阶段数学核心素养，就是“用数学的眼光观察数学世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达数学世界.”[7]这里的“观察-分析-表达”恰是数学实验的一般审美秩序.因此，数学实验的“审美”本身既是原型抽象，又是关系联结，终于直观与抽象，理性与自然的哲学审美合一.