全国高考数学解答题答题规范及得分要领系列讲座（3）———函数与导数、极坐标与参数方程、不等式选讲

■北京市第十二中学 高慧明

一、函数的单调性、极值与最值问题

例1已知函数f(x)=l nx+a(1—x)。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a—2时，求a的取值范围。

审题思路：求(x)的单f调性→f(x)的最大值→解f(x)max＞2a—2。

规范解答：(1)f(x)的定义域为(0，

若a≤0，则f "(x)＞0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增。

若a＞0，当x∈时，f "(x)＞0；当时，f "(x)＜0。所以f(x)在上单调递增，在上单调递减。

综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减。

(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上无最大值；

当a＞0时，f(x)在x=处取得最大值，最大值为—l na+a—1。

令g(a)=l na+a—1，则g(a)在(0，+∞)上单调递增，因为g(1)=0，于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0。

因此，a的取值范围是(0，1)。

答题模板：第一步，写出函数的定义域，求函数的导数。

第二步，通过讨论确定f "(x)的符号。

第三步，利用f "(x)的符号写出函数的单调区间。

第四步，根据函数单调性求出函数最值。

评分细则：(1)函数求导正确给1分。

(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分。

(3)求出最大值给2分。

(4)构造函数g(a)=l na+a—1给2分。

(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分。

模拟训练1.已知函数f(x)=x2—x—l nx。

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若x1，x2是方程a x+f(x)=x2—x(a＞0)的两个不同的实数根，求证：l nx1+l nx2+2 l na＜0。

解析：(1)依题意，f "(x)=2x—1—

当x∈(0，1)时，f "(x)＜0；当x∈(1，+∞)时，f "(x)＞0。

故当x=1时，函数f(x)有极小值f(1)=0，无极大值。

(2)因为x1，x2是方程a x+f(x)=x2—x的两个不同的实数根，所以a x1—l nx1=0，a x2—l nx2=0，两式相减得a(x1=0，解得

要证l nx1+l nx2+2 l na＜0，即证，即 证x1x2，即证

不妨设x1＜x2，令=t＞1，只需证即可。

令h(t)=2 l nt—t+，所以h "(t)=＜0，所以h(t)在(1，+∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)=0，所以g "(t)＜0，所以g(t)在(1，+∞)上为减函数，所以g(t)＜g(1)=0。

所以l n2t＜t—2+在(1，+∞)上恒成立，所以原不等式成立，即l nx1+l nx2+2 l na＜0。

评注：利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用到的方法为：

(1)对于确定函数的单调区间问题，先求定义域，然后解不等式f "(x)＞0，再分定义域求交集得单调递增区间；解不等式f "(x)＜0，与定义域求交集得单调递减区间。

(2)对于求含参函数的单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图像判断。

(3)求函数的极值，先求f "(x)=0的根x0，再和函数的定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断是否有极值。

(4)求函数的最值和极值类问题，先求f "(x)=0的根x0，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数的大致图像，进而求得最值。

二、导数与不等式的恒成立问题

例2 设函数f(x)=em x+x2—m x。

(1)证明：f(x)在(—∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；

(2)若对任意的x1，x2∈[—1，1]，都有|f(x1)—f(x2)|≤e—1，求m的取值范围。

审题思路：(1)求导f "(x)=m(em x—1)+2x→讨论m确定f "(x)的符号→证明结论。

(2)条件转化为|f(x1)—f(x2)|max≤构造函数g(t)=et—t—e+1→研究g(t)的单调性→寻求的条件 对 进行讨论，从而→m得出适合条件的范围。

规范解答：(1)f "(x)=m(em x—1)+2x。

若m≥0，则当x∈(—∞，0)时，em x—1≤0，f "(x)＜0；当x∈(0，+∞)时，em x—1≥0，f "(x)＞0。

若m＜0，则当x∈(—∞，0)时，em x—1＞0，f "(x)＜0；当x∈(0，+∞)时，em x—1＜0，f "(x)＞0。

所以，f(x)在(—∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增。

(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在[—1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x=0处取得最小值。

所以对于任意的x1，x2∈ [—1，1]，|f(x1)—f(x2)|≤e—1的充要条件是

设g(t)=et—t—e+1，则g "(t)=et—1。

当t＜0时，g "(t)＜0；当t＞0时，g "(t)＞0。故g(t)在(—∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增。

又g(1)=0，g(—1)=e—1+2—e＜0，故当t∈[—1，1]时，g(t)≤0。

当m∈[—1，1]时，g(m)≤0，g(—m)≤0，即①式成立；

当m＞1时，由g(t)的单调性，得g(m)＞0，即em—m＞e—1；

当m＜—1时，g(—m)＞0，即e—m+m＞e—1。

综上，m的取值范围是[—1，1]。

答题模板：第一步，先确定函数的定义域，再求f "(x)。

第二步，根据f "(x)的符号确定函数的单调区间。

第三步，一般将恒成立问题转化为函数的最值问题。

第四步，通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立。

第五步，查看是否注意了定义域、区间的写法，以及最值点的探求是否合理等。

评分细则：(1)求出导数给1分。

(2)讨论时漏掉m=0扣1分；两种情况只有一种讨论正确给2分。

(3)确定f "(x)符号时只有结论无中间过程扣1分。

(4)写出f(x)在x=0处取得最小值给1分。

(5)无最后结论扣1分。

(6)用其他方法构造函数同样给分。

模拟训练2.已知函数f(x)=x2+a x—l nx，a∈R。

(1)若函数f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围。

(2)令g(x)=f(x)—x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

(3)当x∈(0，e]时，证明(x+1)l nx。

解析：(1)f "(x)=2x+a—1=x在[1，2]上恒成立。令h(x)=2x2+a x— 1，有解得

(2)假设存在实数a，使g(x)=a x—l nx(x∈(0，e])有最小值3，g "(x)=a—

①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min=g(e)=ae—1=3，a=(舍去)。

综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0，e]时g(x)有最小值3。

(3)令F(x)=e2x—l nx，由(2)知，F(x)min=3，令φ(x)=，则φ "(x)=

当0＜x＜e时，φ "(x)≥0，h(x)在(0，e]上单调递增。

所以φ(x)max=φ(e)==3，所以e2x—l nx＞，即e2x2—

评注：证明不等式f(x)≥g(x)成立，可以构造函数H(x)=f(x)—g(x)，通过证明函数H(x)的最小值大于等于零即可。有时候利用导数求函数的最小值比较麻烦，则可以通过特例法，即证明f(x)的最小值大于等于g(x)的最大值即可。

模拟训练3.已知函数f(x)=l nx，g(x)=(a—e)x+2b(其中e为自然对数的底数)。

(1)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像相切于x=处，求a，b的值；

(2)当2b=e—a时，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值。

解析：(1)a=2 e，b=—1。(过程略)

(2)令h(x)=f(x)—g(x)=l nx+(e—a)x—(e—a)，则h "(x)=+(e—a)。

当a≤e时，h(x)单调递增，而h(1)=0，所以x∈(1，+∞)时，h(x)＞0，不合题意。

当a＞e时，令h "(x)=0，则

因为h "(x)为减函数，所以x∈时，h "(x)＞0，h(x)单调递增；x∈时，h "(x)＜0，h(x)单调递减。

所以hmax(x)=h1—(e—a)≤0，化简整理得l n(a—e)≥(a—e)—1。 ①

但∀x＞0，l nx≤x—1等号成立当且仅当且x=1。

故①式成立只能a—e=1，即a=e—1。

评注：将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量，哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则。常用方法有参变分离法和构造函数法。

三、极坐标与参数方程、不等式选讲

例3 在平面直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为ρ=4 sinθ，M为曲线C1上异于极点的动点，点P在射线OM上，且|O P|，2，|OM|成等比数列。

(1)求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)已知A(0，3)，B是曲线C2上的一点且横坐标为2，直线A B与C1交于D，E两点，试求||A D|—|A E||的值。

解析：(1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|O P|，2，|OM|成等比数列，可得|O P|·|OM|=2 0，即ρ·ρ1=2 0，ρ1=

又M(ρ，θ)满足ρ=4 sinθ，即114 sinθ，所以ρsinθ=5，化为直角坐标方程为y=5。

(2)依题意可得B(2，5)，故kA B=1，即直线A B的倾斜角为，所以直线A B的参数方程为代入圆的直角坐标方程x2+(y—2)2=4，得t2+t—3=0，故t1+t2=—，t1t2=—3＜0，所以||A D|—|A E||=|t1+t2|=。

模拟训练4.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，射线l：θ(ρ≥0)和曲线C：ρ(sinθ+2 c o sθ)=2

(1)判断射线l和曲线C1的公共点个数；

(2)若射线l与曲线C2交于A，B两点，且满足|O A|=|A B|，求实数m的值。

解析：(1)直线l的直角坐标方程为y=x(x≥0)，曲线C1是以(3，1)为圆心为半径的圆，其直角坐标方程为(x—3)2+(y—1)2=2。

(2)将θ=代入曲线C的方程得2+m，即ρ2—3ρ+2m=0，设该方程的两根分别为ρ1，ρ2，由韦达定理知ρ1+ρ2=3，ρ1ρ2=2m。

由|O A|=|A B|知|O B|=2|O A|，即ρ2=2ρ1，所以ρ1=，ρ2=2，m=2。