关于广义纯正断面的一个注记*

严庆富， 晏潘， 王守峰

(云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

正则半群的逆断面是Blyth和McFadden在文献[1]中提出的.自此，具有逆断面的正则半群逐渐成为半群代数理论研究的热点之一[2-3].与此同时，对逆断面的推广，也成为许多半群学者关注较多的问题.1999年，陈建飞给出了纯正断面的概念，得到了具有拟理想纯正断面的正则半群的结构定理[4]，而在文献[5]中，陈建飞和郭聿琦又得到了纯正断面的一些更加深刻的性质.在此基础上，孔祥军对纯正断面做了较为系统的研究[6-8].另一方面，张荣华和王守峰提出了逆断面的另一种推广，即广义逆断面，给出了具有广义逆断面的正则半群的结构定理[9].受此启发，孔祥军定义了正则半群的广义纯正断面，借助于文献[9]的处理方法，得到了一类具有广义纯正断面的正则半群的结构定理[10].

本文将在上述研究的基础上，继续研究具有广义纯正断面的正则半群及其子类的性质，分别用RI、RGI、RO、RGO来表示具有逆断面、广义逆断面、纯正断面和广义纯正断面的正则半群类，证明了如下结果：

RI⊂RO,RI⊂RGI,RO∪RGI⊂RGO.

1 预备知识

设S是正则半群，S0是S的子半群，x∈S,X是S的非空子集.记

V(x)={y∈S|xyx=x,yxy=y}

E(S)={e∈S|e2=e}

VS0(X)={x0∈S0|xx0x=x,x0xx0=x0,x∈X}

则称S0为S的纯正子半群(逆子半群)，若对任意e,f∈E(S0),有ef∈E(S0)(ef=fe).

定义1.1 设S是正则半群，若S0是S的纯正子半群且关于任意x∈S,有VS0(x)≠∅,则称S0是S的广义纯正断面[10]; 若关于任意x,y∈S,{x,y}∩S0≠∅蕴涵VS0(x)VS0(y)⊆VS0(yx),则正则半群S的广义纯正断面S0称为纯正断面[4].若S0是S的逆子半群且关于任意x∈S,有VS0(x)≠∅,则称S0是S的广义逆断面[9]；若关于任意x∈S,VS0(x)中恰好含一个元素,则正则半群S的广义逆断面S0称为逆断面[3].

设S0是正则半群S的广义纯正断面，x∈S.记

下面的引理给出了I和Λ的等价刻画，用L,R表示S上的格林关系.

引理1.2[10]设S是具有广义纯正断面S0的正则半群.则

I={e∈E(S)|(∃e0∈E(S0))eLe0},Λ={e∈E(S)|(∃e0∈E(S0))eRe0},I∩Λ=E(S0)

由定义立即看出，纯正断面和逆断面均为广义纯正断面，而逆断面必为广义逆断面.称半群S为右正则带(左正则带)，若关于任意x,y∈S,有

x2=x,xyx=yx(x2=x,xyx=xy)

引理1.3[3]设S0是正则半群S的逆断面，则I和Λ分别为S的左正则子带和右正则子带.

推论1.4 设S0是正则半群S的逆断面,则S0是S的纯正断面.

证明:对x∈S,记VS0(x)中的唯一逆元为x0.设x,y∈S且x∈S0,则

yy0∈I,x0x∈E(S0)⊆I

据引理1.3，有yy0x0x∈I,故

(y0x0)xy(y0x0)=y0[(yy0x0x)(yy0x0x)]x0=y0(yy0x0x)x0=y0x0

类似可知xy(y0x0)xy=xy,这就证明了(xy)0=y0x0.对偶可证x∈S,y∈S0蕴含(xy)0=y0x0.故S0是S的纯正断面.

引理1.5[5]正则半群S的广义纯正断面S0是纯正断面当且仅当

IE(S0)⊆I,E(S0)Λ⊆Λ,E(S0)I⊆E(S),ΛE(S0)⊆E(S)

类似的，可以证明以下命题.

命题1.6 正则半群S的广义逆断面S0是逆断面当且仅当

E(S0)I⊆E(S),ΛE(S0)⊆E(S)

证明：必要性由引理1.3立得.下证充分性.

由推论1.4、引理1.5和命题1.6，易知下述结果成立.

推论1.7 设S是具有子半群S0的正则半群，则S0是S的逆断面当且仅当S0既是S的纯正断面又是S的广义逆断面.

2 主要结果

定理2.1 分别用RI、RGI、RO、RGO来表示具有逆断面、广义逆断面、纯正断面和广义纯正断面的正则半群类.则

RI⊂RO,RI⊂RGI,RO∪RGI⊂RGO

证明：由推论1.7，RI⊆RO,RI⊆RGI且RO∪RGI⊆RGO.下面将证明上述包含关系都是真包含.考虑半群M={1,b,c,x},其乘法表为

则M是一个非逆的纯正半群且

E(M)={1,b,c},V(1)={1},V(b)={b,c}=V(c),V(x)={x}

我们断言M是M的唯一的(广义)纯正断面.事实上，若M1≠M是M的一个(广义)纯正断面，则M1有以下两种情形：M11={1,x,b},M12={1,x,c}.然而，M11和M12均不是M的子半群，矛盾.故RI⊂RO.

考虑完全0-单半群S=M0(G;I,Λ,P),其中

下面，我们将找出该半群的所有广义纯正断面.方便起见，将引入以下记号：

e=(1，1，1),f=(1,1,3),g=(2,1,2),h=(2,1,3),a=(2,1,1),b=(1,1,2)

则S={e,f,g,h,a,b,0}且

(1)V(e)={e,f},V(b)={a,h},V(f)={e,f,a,h}

(2)V(g)={g,h},V(h)={g,h,f,b},V(a)={f,b},V(0)={0}

(3)he=a∉E(S),fg=b∉E(S)

若S0是S的广义纯正断面，则S0一定纯正且关于任意t∈S,有VS0(t)≠∅.于是可能的情形仅为以下两种：

故RI⊂RGI且RO⊂RGO.

V((0,c))=V((0,b))={(0,b),(0,c)},V((0,x))={(0,x)}

有

(0,x)∈T0, {(0,b),(0,c)}∩T0≠∅

由于xc=b和xb=c,这蕴涵(0,b),(0,c)∈T0.注意到E(T0)是半格，有(0,b)(0,c)=(0,c)(0,b).故b=bc=cb=c,矛盾.另一方面，设T*是T的纯正断面且S*={s∈S|(s,1)∈T*}.注意到V(1)={1},容易验证，S*是S的纯正断面，矛盾.故RO∪RGI⊂RGO.