谈谈解决数学问题中构造函数的方式

毛 艺

(四川省宜宾市南溪区第二中学校 644100)

在高中的数学教学中，采用构造函数，能简化解题的过程，使抽象、枯燥的数学概念、公式和定理直观、形象、具体、生动地呈现在学生面前.基于此，本文就探讨几种构造函数的方法.

一、换元构造函数法

在高中数学的教学中，我们还经常遇到多变元函数的处理问题，面对这类函数计算，常规的解题方法也无法轻松地求解，这时候，教师就可以引导学生采用换元构造函数的方法，用一个新元替代该函数的一部分或全部的变元，从而将变量由多元化为少元，达到减元的目的，这样能快速求解出来.

在解决这道题时，我们将待解决的函数式进行了适当的变形，把二元字母变为统一的同一种结构，然后借助辅助元进行替代，从而把两个变元问题转化为一个变元问题，然后利用辅助元对自变量进行构造函数，再通过导数进行求解，这样就极大地简化了解题的难度.

二、特征构造函数法

在实际解题中，要想引导学生进行函数构造，教师应引导学生仔细审题，根据题目给出的条件或是要求解的结论进行构造函数，这样能有效简化求解的难度，提升学生解题的速度和准确率.

三、作差构造函数法

在高中数学教学中，在处理一般构造函数F(x)=f(x)-g(x)这样的练习题时，我们就可以采用作差构造函数的方法，将其转化为求解函数F(x)min≥0，或者是F(x)min≤0的形式，也就是求解函数的最值问题.在解决这类问题时，我们就可以采用直接作差构造函数的方法.

例3 已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都经过点P(0，2)，且在该点处有相同的切线y=4x+2.(1)求解a，b，c，d的值；(2)若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.

分析(1)这道题经过计算，可以很容易得出答案，a=4，b=2，c=2，d=2.

(2)由(1)的答案可知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).假设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则可以推导出F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可知，F(0)≥0，且F(-2)≥0，那么我们就可以得到1≤k≤e2.所以，f(x)≤kg(x)恒成立，则k的取值范围就是[1,e2].

四、其他方式构造函数法

以上三种构造函数法是我们在高中数学解题中经常用到的，特别是第三种，是最基本的解题方法.在实际的解题中，除了这三种方法构造函数以外，我们还可以用分离参数的方法，即对已知恒成立的不等式，在能够判断出参数系数正负的情况下，我们就可以根据不等式的性质将该函数的参数分离出来，从而得到一个一端是参数，而另一端则是变量的不等式，这样，我们只要研究不等式另一端的最值就可以轻松解决问题了.此外，还有主元构造函数的方法和放缩构造函数的方法，这些方法在实际的解题中，都能有效地简化解题的步骤，降低解题的难度，从而轻松、容易地化解函数问题.在实际的教学中，教师应该向学生渗透这些有效的构造函数方法，帮助学生建立构造函数的思想，提升他们的解题能力.当然，受篇幅限制，本文就不一一赘述了.