特殊走向一般 一般包含特殊——例谈求解定点定值问题的两条途径

蔡海涛

(福建省莆田第二中学 351131)

圆锥曲线中的定点、定值问题在高考中频频出现.这类问题往往是某些几何量(线段的长度、图形的面积、角度、直线的斜率)的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，是一个不变的定量．求解这类问题常常有两条途径，一条是从特殊情况入手，发现特点，猜测出定点或定值，再通过观察规律证明一般性情况，体现从特殊到一般的认识过程.另一条途径是从变量中寻求不变，即先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算，得出这些量或点的坐标和变量无关，是一般到特殊的推理过程．这两条途径相得益彰，也是数学研究中常用的特殊与一般的重要思想方法.

一、定点问题

定点问题即曲线系(或直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质.其本质是:当动曲线变化时,这些曲线相交于一点.

(1)求椭圆E的方程；

下面我们证明对于一般的直线l:y=kx+1，Q(0,2)也满足题意．

评析第(2)问，若没有根据特殊情况入手，探究出Q点坐标，解题将面临求解线段长或是线段比的繁杂运算而难以进行下去.而求出Q(0,2)坐标之后，证明则简单了许多，只须证明y轴为∠AQB的角平分线即可，再转化为kQA=-kQB进行坐标化，问题不难得以解决.在这里，从特殊探路在解题中起到关键的作用.

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2，如果l与x轴垂直，设l:x=t，

由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.

由题设k1+k2=-1，故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.

评析(2)问直线过定点问题,思路是把直线的方程设为y=kx+m,再利用已知条件寻找k,m间的关系,从而得到直线l只含有一个参数,令参数的系数为0,则得到定点坐标. 一般地，若是其他曲线过定点，常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数为0，求得定点.

二、定值问题

定值问题即在动点运动过程中,由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明∠AOB的大小为定值.

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，

所以 ∠AOB的大小为90°.

评析(2)问通过特殊情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明.通常探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石,从特殊角度入手常常也是解决选择填空中定值问题的常用策略.

例4 (2018年高考北京卷·理19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

(1)求直线l的斜率的取值范围；

解(1)直线l斜率的取值范围是(-,-3)∪(-3,0)∪(0,1)．(过程略)

所以