定义让解题更灵活

蔡 明

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

我们都知道定义是揭示事物的本质属性，在很多时候也是解决问题的有效武器.在圆锥曲线的学习中可以遇到三种不同的定义方式，倘若回到定义中去思考，能找到一种解决问题的最佳策略.下面主要介绍各种定义形式促使圆锥曲线的解题更为灵活.

一、第一定义

设F1,F2为椭圆(双曲线)的两个焦点，椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于长轴长2a，即|PF1|+|PF2|=2a(注：2a>|F1F2|).双曲线上任意一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长2a，即||PF1|-|PF2||=2a(注：2a<|F1F2|).灵活性在于遇到与两焦点有关的问题可用此定义关联.

分析若用一般思想求出圆方程，进而得到切点，显得比较复杂.根据题意：切点M在双曲线C上，能采用定义或许为更灵活.

证明设PF1,PF2与圆的切点分别为A,B，根据切线可得|PA|=|PB|,|F1M|=|F1B|,|F2M|=|F2A|.

结合双曲线的定义：||PF1|-|PF2||=2a,

又|PF1|=|PB|+|F1B|,|PF2|=|PA|+|F2A|，

即||F1M|-|F2M||=2a，因此切点M在双曲线C上(即切点M为双曲线的顶点).

分析若直接设点满足角平分线与垂线去求解会很繁冗，若能采用定义的策略就会迎刃而解.

二、第二定义

到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e，当01时，轨迹为双曲线(定点为焦点，定直线为相应准线).灵活性在于遇到焦点与相应准线间的问题可用此定义关联.

例3 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于P、Q两点，点M在抛物线的准线上，且QM∥x轴．证明直线PM经过原点O．

分析此题倘若用常规的坐标思想去求证，很容易遗漏斜率不存在的情况从而导致失分.由于本身是与焦点和准线相关的问题，因此可考虑用抛物线的定义.

例4 椭圆上三点A,B,C的横坐标x1,x2,x3成等差数列，F为椭圆的焦点，求证：|AF|,|BF|,|CF|也成等差数列.

分析要将题中|AF|,|BF|,|CF|与x1,x2,x3建立关系，因此考虑使用椭圆的第二定义.

证明设焦点F相应的准线为l:x=m.

设点A,B,C向l引垂线，垂足分别为A1,B1,C1.

记椭圆的离心率为e，由椭圆的第二定义可得：

所以|AF|=e|AA1|=e(m-x1)，|BF|=e|BB1|=e(m-x2)，|CF|=e|CC1|=e(m-x3),则|BF|-|AF|=-e(x2-x1)，|CF|-|BF|=-e(x3-x2).

由于x1,x2,x3成等差，则x3-x2=x2-x1，所以|BF|-|AF|=|CF|-|BF|,故|AF|,|BF|,|CF|也成等差数列.

三、极坐标下的统一定义

分析此题若用韦达定理及抛物线的定义进行求解，其计算量颇大且易出现错误，如果能用圆锥曲线的统一极坐标方程去证明会有一种“柳暗花明又一村”的感觉.

通过以上三组题目可看出，追本溯源运用定义是解决问题的一种有利武器.平时能正确选用定义可减少大量繁冗的计算，减少运算出错的可能性，使本身较难的问题有一种豁然明朗之感.希望平时能强化应用定义的意识，用定义让解题更“灵活”，真正体现“将定义用活、用活定义”的思想.