“不变”的本质，“变化”的思维

陈旭

摘  要：《义务教育数学课程标准（2011版）》关于课程的总目标中指出，要让学生“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。在数学知识的形成、发展和应用中都蕴含着数学思想，它是在数学知识和数学方法基础上进行的更高层次的抽象和概括。数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识。通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法 [1]。“变与不变”的思想是数学学习中的一个重要思想方法，也是日常生活常用的一种思想方法，在小学数学中广泛存在。

关键词：变与不变;思想方法;本质;思维品质

一、在“变与不变”中厘清算理

在四年级上册学习60÷20时很多学生想到：因为6÷2=3，所以60÷20=3，还有些学生做除法想乘法，似乎都不难得答案，但背后学生的思维训练却不明显，其实还可以巧妙构思。

教学再现：四年级《两位数除以两位数》。

师：老师这里有6捆小棒和6根小棒你能摆一摆吗？

学生选择了6捆小棒很轻松就上台摆出了3个2捆。

师：如果老师现在只有6根小棒，你还能不能把计算道理摆一摆？

生：老师，我能想象吗？

师：可以。

生：我眼里看到的是1根小棒，脑子里想成1捆。2捆一份、2捆一份、2捆一份也能得到3。

师：听明白了吗？一起在脑海中想一想。

师：刚才分小棒的过程在二年级表示的是哪个算式？

生：6÷2=3。

师：刚才表示的是哪个算式呢？

生：60÷20=3。

师：如果这么想下去，你还能算出哪些算式？

生：600÷200=3，6000÷2000=3。

……

第一次学生在6捆小棒和6根小棒之间选择的时候，脑海中强化的是计数单位。当第二次只有6根小棒的时候，眼里看到的1不只是代表1，此时学生的思维水平不一样了。60÷20与6÷2相比，它们计数单位不同但算理相同，那么怎样建立两种教学内容之间的联系呢？学生在脑海中对“1根小棒”进行联想，当作10根、100根、1000根……使其“以1当10，以1当100，以1当1000……”同理，在加法计算中9+6=15可以用小棒来摆一摆、捆一捆，在计算90+60时仍然可以在脑海中以1当10、100、1000……以此类推进行总结与提升，这时已不再是1根小棒，一个计数单位，而是一类计数单位，一种数学模型。

摆小棒只是帮助学生学习的一种手段，通过操作来搭建计算之间的桥梁，建立算理之间的联系，让学生摆脱直观的实物，将外显的操作技能转化为内隐的心智技能，从而抽象出清晰的算理。在这中间变化的是数，是算式，是计数单位，而不变的却是算理。抓住了不变的算理，在这些变化的算式中，观察比较、提炼总结，促进知识之间的迁移，让知识融会贯通，无形中也提升了学生的分析运算能力。

二、在“变与不变”中揭示概念

数学概念是基础知识和基本技能学习的奠基石，掌握数学概念是数学学习的基础和前提，然而数学概念的抽象性成了学生学习的绊脚石，因此在“变与不变”中去辨析理解，可以帮学生抽丝剥茧抓住概念的内在本质特征，内化理解。

例如，在《分数的意义》这一内容的教学中，学生对于概念的理解总是云里雾里，只知道跟着老师提供的例子照葫芦画瓢跟着往里面套着说意义，熟能生巧后学生就会背诵“分数的意义”的概念，那是否意味着学生真正理解并掌握了分数的意义？我们的教学是重在理解分数本质的意义，还是重在熟记分数形式化的“概念”？下面就结合片段谈谈如何抓住“变与不变”来帮助学生理解分数的意义。

教学再现：五年级《分数的意义》。

①    ②       ③           ④

图1

师：这几幅图里分别是把什么给平均分了？

生：图①是把一个月饼平均分，图②是把一个长方形平均分，图③是把1米长的线段平均分，图④是把8个圆片平均分。

问：为什么画法不一样都能表示？它们有什么相同之处？

生：都是把它们平均分成了4份，取这样的3份。

师：数学除了研究不变，再思考一下还有哪些变了？

生：被平均分的材料不一样。

师：图①分的是几个物体？

生：一个物体。（板书：一个物体）

师：图②是把什么给平均分了？

生：一个长方形。

师：还能是什么图形？

生：圆形、正方形等很多圖形都可以。

师：图③被平均分的整体是什么？

师：可以换成1小时吗？1千克呢？

生：可以的，还可以是1吨、1分钟等。

师：这些我们统称为计量单位。（板书：一个计量单位）

师：图④平均分的是什么？

生：8个圆片。

师追问：圆片还能更多吗？

生：可以是很多很多个圆片。

（根据学生的回答在圆圈内出示更多的圆片）

师：也就是多个物体。（板书：一些物体）

师：那这些不同的物体被平均分了以后都可以用表示，说明了什么？

生：说明跟被平均分的份数以及表示的份数有关，跟是什么被平均分了无关。

师：像这样的一个物体、一个计量单位、许多物体组成的一个整体都可以叫作单位“1”。

……

五年级认识分数，其实质是在三年级认识分数的基础上的再认识，是由三年级的具体表象认识向抽象认识分数的一种提升。先结合学生的已有认知经验找出所表示的分数，体会单位“1”在变，但不变的都是平均分成4份，表示这样的3份，所表示的分数没有变化。在变化的单位“1”中辨析理解的意义，深化了分数意义的概念。单位“1”还可以怎么变化，丰富了单位“1”的外延，不断内化对单位“1”的认识，抽象出单位“1”的本质属性，对分数概念的认识开始从具体过渡到抽象。

三、在“变与不变”中把握关系

有些学生在“解决问题”时总是错误率较高，在纷繁复杂的解决问题的情境中如何找到突破口，往往抓住變与不变的量去思考分析，就能化繁为简，让问题迎刃而解。

教学再现：三年级《三位数除以一位数练习》。

图2

师：仔细观察这个表格，你有什么发现？

生：挖的天数不断减少，每天挖的米数不断增加。

师：什么变了？什么没变？

生：挖的天数在变化，每天挖的米数也在变化。

师：每天挖的米数是随着什么的变化而变化的呢？

生：每天挖的米数是随着天数的变化而变化的。

师：什么不变？

生：水渠的总长度不变。

师：从这个不变中你发现了什么？

生：每天挖的米数×天数=水渠的总长度。

……

在解决问题中这一思想的应用很多，在“不变”的基础上，抓住“变”的原因，在分析的过程中通过已知条件剖析“变”的原因，从“变”的原因中找到突破口，让已知条件不断清晰明朗，透过现象看本质，在局部中把握全局。

四、在“变与不变”中探寻本质

在学习了“面积”和“周长”两个概念后，很多同学经常被这样的题目所困惑：把一个长方形不断拉伸成平行四边形，周长在怎样变化？面积在怎样变化？

图3

（借助一个活动的长方形框架演示不断拉伸的过程）

师：在这个过程中周长的长短有变化吗？

生：没有，依然是这4根木条。

师：面积的大小变了吗？

生：面积变了，在变小。

师：你是怎么知道面积在变小的？

生：在拉伸前后图形底没变，高在变小，面积就变小了。

师：大家再来仔细观察一下，在拉伸的前后什么变了，什么没变？

师：如果现在再把一个平行四边形拉成一个长方形，那面积又该怎么变化了呢？

生：不管怎么拉伸底是不变的，变化的是高，如果高增加面积就变大，如果高减少面积就变小。

……

在这一动态的演示中引导学生观察：围成图形的线的变化如何引起周长和面积的变化。厘清需要关注的影响因素，思考什么变了什么不变，在辨析的同时逐步学会怎么去全面思考问题 [2]。在这样的思维训练中培养了学生观察、比较、分析、推理的能力，总结的过程也就是学生对数或形的概括能力的培养过程，数学思维也就发展了，无形中也发展了空间观念。

从计算学习到解决问题，从图形变化到面积运算，从整数到分数、小数、百分数……这一系列数量关系和空间关系中，无不蕴藏着数形之间“变”与“不变”的关联，一旦教师抓住“变”和“不变”的辩证规律，引导学生通过观察、分析、推理、建模，那么在解决数学问题的同时，自然发展了学生的思维品质，再把这种思维品质迁移到身边事物或生活中，养成对生活的态度 [3]。长此以往，数学课堂除了用最为本质的数学问题、数学关系、数学特点等吸引学生外，还能启迪学生的智慧，从而也让数学课堂更有魅力。

参考文献：

[1]  杜晓晴.如何在数学教学中渗透“变与不变”的思想[J]. 小学教学参考，2015.

[2]  张梅玲. 小学数学思维中的“变与不变”[J]. 数学思维，2016.

[3]  蒋守彬. 小学数学的“变”与“不变”[J]. 湖南教育，1999.