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“不变”的本质,“变化”的思维

2019-04-02陈旭

数学教学通讯·小学版 2019年2期
关键词:变与不变不变思想方法

陈旭

摘  要:《义务教育数学课程标准(2011版)》关于课程的总目标中指出,要让学生“学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”。在数学知识的形成、发展和应用中都蕴含着数学思想,它是在数学知识和数学方法基础上进行的更高层次的抽象和概括。数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识。通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法 [1]。“变与不变”的思想是数学学习中的一个重要思想方法,也是日常生活常用的一种思想方法,在小学数学中广泛存在。

关键词:变与不变;思想方法;本质;思维品质

一、在“变与不变”中厘清算理

在四年级上册学习60÷20时很多学生想到:因为6÷2=3,所以60÷20=3,还有些学生做除法想乘法,似乎都不难得答案,但背后学生的思维训练却不明显,其实还可以巧妙构思。

教学再现:四年级《两位数除以两位数》。

师:老师这里有6捆小棒和6根小棒你能摆一摆吗?

学生选择了6捆小棒很轻松就上台摆出了3个2捆。

师:如果老师现在只有6根小棒,你还能不能把计算道理摆一摆?

生:老师,我能想象吗?

师:可以。

生:我眼里看到的是1根小棒,脑子里想成1捆。2捆一份、2捆一份、2捆一份也能得到3。

师:听明白了吗?一起在脑海中想一想。

师:刚才分小棒的过程在二年级表示的是哪个算式?

生:6÷2=3。

师:刚才表示的是哪个算式呢?

生:60÷20=3。

师:如果这么想下去,你还能算出哪些算式?

生:600÷200=3,6000÷2000=3。

……

第一次学生在6捆小棒和6根小棒之间选择的时候,脑海中强化的是计数单位。当第二次只有6根小棒的时候,眼里看到的1不只是代表1,此时学生的思维水平不一样了。60÷20与6÷2相比,它们计数单位不同但算理相同,那么怎样建立两种教学内容之间的联系呢?学生在脑海中对“1根小棒”进行联想,当作10根、100根、1000根……使其“以1当10,以1当100,以1当1000……”同理,在加法计算中9+6=15可以用小棒来摆一摆、捆一捆,在计算90+60时仍然可以在脑海中以1当10、100、1000……以此类推进行总结与提升,这时已不再是1根小棒,一个计数单位,而是一类计数单位,一种数学模型。

摆小棒只是帮助学生学习的一种手段,通过操作来搭建计算之间的桥梁,建立算理之间的联系,让学生摆脱直观的实物,将外显的操作技能转化为内隐的心智技能,从而抽象出清晰的算理。在这中间变化的是数,是算式,是计数单位,而不变的却是算理。抓住了不变的算理,在这些变化的算式中,观察比较、提炼总结,促进知识之间的迁移,让知识融会贯通,无形中也提升了学生的分析运算能力。

二、在“变与不变”中揭示概念

数学概念是基础知识和基本技能学习的奠基石,掌握数学概念是数学学习的基础和前提,然而数学概念的抽象性成了学生学习的绊脚石,因此在“变与不变”中去辨析理解,可以帮学生抽丝剥茧抓住概念的内在本质特征,内化理解。

例如,在《分数的意义》这一内容的教学中,学生对于概念的理解总是云里雾里,只知道跟着老师提供的例子照葫芦画瓢跟着往里面套着说意义,熟能生巧后学生就会背诵“分数的意义”的概念,那是否意味着学生真正理解并掌握了分数的意义?我们的教学是重在理解分数本质的意义,还是重在熟记分数形式化的“概念”?下面就结合片段谈谈如何抓住“变与不变”来帮助学生理解分数的意义。

教学再现:五年级《分数的意义》。

①    ②       ③           ④

图1

师:这几幅图里分别是把什么给平均分了?

生:图①是把一个月饼平均分,图②是把一个长方形平均分,图③是把1米长的线段平均分,图④是把8个圆片平均分。

问:为什么画法不一样都能表示?它们有什么相同之处?

生:都是把它们平均分成了4份,取这样的3份。

师:数学除了研究不变,再思考一下还有哪些变了?

生:被平均分的材料不一样。

师:图①分的是几个物体?

生:一个物体。(板书:一个物体)

师:图②是把什么给平均分了?

生:一个长方形。

师:还能是什么图形?

生:圆形、正方形等很多圖形都可以。

师:图③被平均分的整体是什么?

师:可以换成1小时吗?1千克呢?

生:可以的,还可以是1吨、1分钟等。

师:这些我们统称为计量单位。(板书:一个计量单位)

师:图④平均分的是什么?

生:8个圆片。

师追问:圆片还能更多吗?

生:可以是很多很多个圆片。

(根据学生的回答在圆圈内出示更多的圆片)

师:也就是多个物体。(板书:一些物体)

师:那这些不同的物体被平均分了以后都可以用表示,说明了什么?

生:说明跟被平均分的份数以及表示的份数有关,跟是什么被平均分了无关。

师:像这样的一个物体、一个计量单位、许多物体组成的一个整体都可以叫作单位“1”。

……

五年级认识分数,其实质是在三年级认识分数的基础上的再认识,是由三年级的具体表象认识向抽象认识分数的一种提升。先结合学生的已有认知经验找出所表示的分数,体会单位“1”在变,但不变的都是平均分成4份,表示这样的3份,所表示的分数没有变化。在变化的单位“1”中辨析理解的意义,深化了分数意义的概念。单位“1”还可以怎么变化,丰富了单位“1”的外延,不断内化对单位“1”的认识,抽象出单位“1”的本质属性,对分数概念的认识开始从具体过渡到抽象。

三、在“变与不变”中把握关系

有些学生在“解决问题”时总是错误率较高,在纷繁复杂的解决问题的情境中如何找到突破口,往往抓住變与不变的量去思考分析,就能化繁为简,让问题迎刃而解。

教学再现:三年级《三位数除以一位数练习》。

图2

师:仔细观察这个表格,你有什么发现?

生:挖的天数不断减少,每天挖的米数不断增加。

师:什么变了?什么没变?

生:挖的天数在变化,每天挖的米数也在变化。

师:每天挖的米数是随着什么的变化而变化的呢?

生:每天挖的米数是随着天数的变化而变化的。

师:什么不变?

生:水渠的总长度不变。

师:从这个不变中你发现了什么?

生:每天挖的米数×天数=水渠的总长度。

……

在解决问题中这一思想的应用很多,在“不变”的基础上,抓住“变”的原因,在分析的过程中通过已知条件剖析“变”的原因,从“变”的原因中找到突破口,让已知条件不断清晰明朗,透过现象看本质,在局部中把握全局。

四、在“变与不变”中探寻本质

在学习了“面积”和“周长”两个概念后,很多同学经常被这样的题目所困惑:把一个长方形不断拉伸成平行四边形,周长在怎样变化?面积在怎样变化?

图3

(借助一个活动的长方形框架演示不断拉伸的过程)

师:在这个过程中周长的长短有变化吗?

生:没有,依然是这4根木条。

师:面积的大小变了吗?

生:面积变了,在变小。

师:你是怎么知道面积在变小的?

生:在拉伸前后图形底没变,高在变小,面积就变小了。

师:大家再来仔细观察一下,在拉伸的前后什么变了,什么没变?

师:如果现在再把一个平行四边形拉成一个长方形,那面积又该怎么变化了呢?

生:不管怎么拉伸底是不变的,变化的是高,如果高增加面积就变大,如果高减少面积就变小。

……

在这一动态的演示中引导学生观察:围成图形的线的变化如何引起周长和面积的变化。厘清需要关注的影响因素,思考什么变了什么不变,在辨析的同时逐步学会怎么去全面思考问题 [2]。在这样的思维训练中培养了学生观察、比较、分析、推理的能力,总结的过程也就是学生对数或形的概括能力的培养过程,数学思维也就发展了,无形中也发展了空间观念。

从计算学习到解决问题,从图形变化到面积运算,从整数到分数、小数、百分数……这一系列数量关系和空间关系中,无不蕴藏着数形之间“变”与“不变”的关联,一旦教师抓住“变”和“不变”的辩证规律,引导学生通过观察、分析、推理、建模,那么在解决数学问题的同时,自然发展了学生的思维品质,再把这种思维品质迁移到身边事物或生活中,养成对生活的态度 [3]。长此以往,数学课堂除了用最为本质的数学问题、数学关系、数学特点等吸引学生外,还能启迪学生的智慧,从而也让数学课堂更有魅力。

参考文献:

[1]  杜晓晴.如何在数学教学中渗透“变与不变”的思想[J]. 小学教学参考,2015.

[2]  张梅玲. 小学数学思维中的“变与不变”[J]. 数学思维,2016.

[3]  蒋守彬. 小学数学的“变”与“不变”[J]. 湖南教育,1999.

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