从主动获取走向自觉内化

叶先玖 尤桂林

从小学到高中，数学教材中的数学实验活动、素材、案例一直都有，教师也可以自己发掘和设计有趣的数学实验，帮助学生学好数学。

数学实验给学生提供了动手操作的机会。在实验中，学生会经历观察猜想、情感经历、经验积累到建模验证等过程，并在这一过程中获取基本的数学知识，形成基本技能，积累基本数学活动经验，感悟基本数学思想方法。在主动获取数学知识中，学生走向数学知识、方法、技能、经验、数学思想等的自觉内化，学会思考数学，拓展数学眼光。

本期，我们一同思考怎样用好数学实验来教学。

《一元二次方程求根公式》被安排在人教版九年级上册，教材是利用配方法推导出[ax2+bx+c=0（a≠0）]的求根公式的，即由得[ax2+bx+c=0（a≠0）]得[（x+b2a）2=b2-4ac4a2]，从而得到[x=-b±b2-4ac2a]。教材这样处理，意图是让学生通过活动理解并掌握公式，感悟配方法。笔者在多年教学中发现，如果单纯地这样去处理，部分学生感觉抽象、枯燥，对求根公式和配方法仅停留于套公式、套步骤、套方法的层次，不能真正理解这部分内容。于是，笔者立足教材，对这部分内容作了如下调整。

环节一 拼图唤醒，回顾完全平方公式

出示图1：如图1分別是边长为[a]，[b]的两个大小一样的长方形和边长分别为[a]，[b]的两个正方形。

问题1：你可以用上述四个图形，拼图验证完全平方公式吗？说说你的操作过程与方法。

学生先用纸版拼图，然后交流展示。在学生表述结论后，教师用计算机动画展示拼图过程，得到图2。

在学生解决好上述问题后，教师用计算机展示古代尼罗河因为河水定期涨水，土地测量人员不得不多次丈量土地，久而久之，形成了利用“出入相补”原理推导一元二次方程求根公式，为学生后续学习作好思维启迪和铺垫。

环节二 拼图探索x（x+b）=c的求根公式

出示问题2：一个边长为x的正方形与另一个以此正方形的边为长的长方形（宽为b）的面积之和为c，求此正方形的边长。

学生得出方程[x]（[x]+[b]）=[c]后，追问：你能构图直观表示出这个方程代表的意思吗？

如图3，将长方形分割为两个相等的小长方形，把其中一个小长方形放到正方形的底端，然后在右下角补上一个边长为[b2]的小正方形，可得到一个边长为[x]+[b2]的大正方形，如图4，其面积为[（x+b2）2=c+b24]，由此求出[x]=[c+（b2）2±b2]。

把图3变形为图4的方式，可以得到[（x+b2）2=c+b24]，从而得到[x]=[c+（b2）2±b2]。（因为面积为边长都为正数，所以开平方时负值舍去）。

问题3：若把上述问题看作一个代数问题，应当怎样表示，从这个实验过程中你会得到什么结论？

结论：方程[x]（[x+b]）=[c]，即[x2+bx=c]解为[x]=[±c+（b2）2][±][b2]。

问题4：你会拼图求解[x2+bx=c]吗？它与问题3是否相同？学生容易得到[x2+bx=c]即为[x]（[x+b]）=[c]。

环节三 借图推理[ax2+bx=c（a≠0）]的求根公式

问题5：你会在问题2和问题4的基础上，直接说出[ax2+bx=c（a≠0）]的解吗？

在学生充分思考交流的基础上，教师和学生一起把问题5转化到问题2即问题4并推导：若将等式两边同除以[a]，得[x2+bax=ca]，这就得到了形如[ax2+bx=c（a≠0）]的方程，即变形为[x]（[x+b]）=[c]的形式了。同样可利用上面的公式求解，即把原公式中的b换成[ba]，c换成[ca]，则得的解为[x]=[±ca+（b2a）2]-[b2a]。

环节四 从拼图实验感悟配方法推导求根公式

问题6：相信你会在上述基础上求[ax2+bx+c=0（a≠0）]的解了吧，说说你的思路。

把[ax2+bx+c=0（a≠0）]与[ax2+bx=c（a≠0）]进行比较，先把[ax2+bx=c（a≠0）]写成[ax2+bx+c=0（a≠0）]的形式，不难发现，求一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的根，只需把[ax2+bx+c=0（a≠0）]中的c替换成[-c]，相应地把求根公式中的[c]也替换成[-c]，即得到[x]=[±-ca+（b2a）2]-[b2a]，化简得[x]=[±][-b±b2-4ac2a]。

环节五 配方法推导一元二次方程求根公式

问题7：从问题5的推导过程，结合完全平方公式，你会从代数角度，进行一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的求根公式吗？学生自行推导，教师归纳配方法的步骤和注意要点。

环节六 反思与提升

问题8：从代数推理角度，你还有其他思路吗？

结论：利用等式基本性质，可以对方程两边同时乘以4[a]，得[4a2x2+4abx+4ac=0]，两边加上[b2]，得[4a2x2+4abx+4ac+b2=b2]，从而有[（2ax+b）2=b2-4ac]，整理得[x]=[±-b±b2-4ac2a]

问题9：一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]是否一定有实数根？或者说，以上述推导过程，有没有失误？如果有，请指出并说明理由。（过程和答案略）

教学反思

“教什么？”本课数学实验，着眼于数学思考，从激发学生学习兴趣入手，浸润获取知识与技能的方式，积累发现、分析、解决问题的经验。从以上实验教学环节可以看出，实验教学侧重于一元二次方程求根公式的来由、过程和其蕴含的数学结合、转化、配方、“出入相补”等基本的数学思想和方法，并在实验中经历情感体验、人文价值和数学思考。

“怎么教？”走进数学发展历史，触摸学生思维心理活动，精心设计实验步骤，制作必要的演示课件，渐次呈现，展示思路。在选题之后，需要精心设计问题，优化讲评方式，利用计算机动画渐次呈现的方式，把一元二次方程求根公式推导及配方法的思路富有启发式地展示出来，让学生在讲评过程中懂得观察系数的特点，感悟思路贯通的方式。

“教给谁？”认真研判所教学生的学情水平、未来发展可能。教学经典问题最重要的就是学情研判，针对所教学生开展教学是教学预设最需要重视的。因为如果学生对完全平方公式还不能很好地掌握，或学生内心根本就觉得单纯的代数运算没有几何拼图那样直观有趣，那么他们会因为抽象或枯燥而觉无趣，他们还会主动获取？还会觉得非常重要？如此，配方法推导一元二次方程的求根公式，也将会是一个难以实现的教学目标。

（作者单位：叶先玖，宜昌市秭归县归州镇初级中学；尤桂林，宜昌市秭归县水田坝乡初级中学）

责任编辑 陈建军

责任校对 张 敏