一道极坐标题的解法与变式研究

苏保明

(云南省蒙自市蒙自一中(新校区) 661100)

由于近几年新课标高考数学卷引入“三选一”选考内容，导致高考卷中时常会考查求曲线的极坐标方程.而解决这类问题的难度不大，只要平时养成勤于思考、勇于探索的学习习惯，就一定能找到解决问题的最佳方法.例如：

题目在直角坐标xOy中，圆C1:x2+y2=4，圆C2:(x-2)2+y2=4.

(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程；

(2)(略).

此题是一道具有很强的灵活性与挑战性的高考名题，大部分考生是根据选修教材《坐标系与参数方程》中的方法进行求解：

解由圆C1:x2+y2=4，得圆心的直角坐标为C1(0,0)、半径r1=2.在极坐标系中，设M(ρ,θ)是圆上任意一点，如图1，所以，圆C1的极坐标方程是ρ=2.

根据课本上的解法，求圆C2的极坐标方程有以下两种方法：

解法1 由圆C2:(x-2)2+y2=4，得圆心的直角坐标为C2(2,0)、半径为r2=2.如图2，在极坐标系中，设N(ρ,θ)是圆上任意一点，连结C2N.

当O、C2、N三点不共线时，在△OC2N中，由余弦定理得

解法2 由圆C2:(x-2)2+y2=4，得圆心的坐标为C2(2,0)、半径为r2=2，如图3，在极坐标系中，设P(ρ,θ)是圆上任意一点，圆C2与极轴相交于点B，连结PB，则OB=4.当O、B、P三点不共线时，

∵OB是圆C2的直径，

∴∠OPB=90°.

在Rt△OPB中，由边角关系得

∵OP=ρ，∴ρ=4cosθ.

所以，圆C2的极坐标方程是ρ=4cosθ.

以上两种方法是课本上或其他资料上的常规解法，其实，除了以上两种方法外，还有一种学生容易忽视的方法：可根据直角坐标与极坐标之间的关系x=ρcosθ，y=ρsinθ，直接代入圆的直角坐标方程，即可转化为圆的极坐标方程.

解法3 把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入圆C2:(x-2)2+y2=4，得

(ρcosθ-2)2+(ρsinθ)2=4，

∴ρ2cos2θ-4ρcosθ+4+ρ2sin2θ=4，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)=4ρcosθ，

即ρ=4cosθ或ρ=0.

∵ρ=0包含在ρ=4cosθ中，∴ρ=4cosθ.

所以，圆C2的极坐标方程是ρ=4cosθ.

评注解法3是通过直角坐标与极坐标之间的桥梁x=ρcosθ，y=ρsinθ，把圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，利用此法可避免画图所用时间，而且计算量不大，通俗易懂，容易掌握，值得借鉴.

变式1 已知圆的直角坐标方程为x2+y2-3x+3y-8=0，求此圆的极坐标方程.

分析此题不必先求出圆心和半径、再用余弦(或正弦)定理进行求解，而只需把x=ρcosθ、y=ρsinθ直接代入圆的直角坐标方程，即可求出圆的极坐标方程.

解以直角坐标系的原点为极点、x轴的正方向为极轴建立极坐标系，把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入x2+y2-3x+3y-8=0，得

(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-3ρcosθ+3ρsinθ-8=0，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)+3ρ(sinθ-cosθ)-8=0，

所以，圆的极坐标方程是

分析若利用课本中的常规方法显得较复杂，但是先化为圆的标准方程，再利用直角坐标与极坐标之间的关系x=ρcosθ，y=ρsinθ，就能简捷求解.

解以直角坐标系xOy的原点O为极点、x轴的正方向为极轴建立极坐标系.

∴圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13.

∵x=ρcosθ、y=ρsinθ，

∴(ρcosθ+2)2+(ρsinθ-3)2=13，

∴(ρcosθ)2+4ρcosθ+4+(ρsinθ)2-6ρsinθ+9=13，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)+4ρcosθ-6ρsinθ=0，

即ρ=0或ρ=6sinθ-4cosθ.

∵ρ=0包含在ρ=6sinθ-4cosθ中，∴ρ=6sinθ-4cosθ，

所以，圆的极坐标方程是ρ=6sinθ-4cosθ.

分析先根据已知圆心的极坐标和半径求出圆的直角坐标方程，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入圆的直角坐标方程即可求出圆C的极坐标方程.

∵半径r=4，

∴圆的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴(ρcosθ)2+(ρsinθ-4)2=16，

∴ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρsinθ+16=16，

∴ρ2=8ρsinθ，即ρ=0或ρ=8sinθ.

∵ρ=0包含在ρ=8sinθ中，∴ρ=8sinθ，

所以，圆C的极坐标方程是ρ=8sinθ.

分析先根据圆的参数方程求出圆的直角坐标方程，再把x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入圆的直角坐标方程即可求出圆的极坐标方程.

∴圆的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=2.

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴(ρcosθ-2)2+(ρsinθ-2)2=2，

∴(ρcosθ)2-4ρcosθ+4+(ρsinθ)2-4ρsinθ+4=2，

∴ρ2(cos2θ+sin2θ)-4ρ(cosθ+sinθ)+6=0，

所以，圆的极坐标方程为