2018年全国Ⅰ卷文科第18题分析

苏艺伟

(福建省龙海第一中学新校区 363100)

一、试题

如图1所示,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.

(1)证明平面ACD⊥平面ABC.

二、试题分析

本题是2018年全国Ⅰ卷文科第18题.从考查内容上看,主要考查立体几何中常见的翻折问题,涉及到垂直的证明以及求三棱锥体积问题.从难易程度上看,试题分为两步,梯度明显,既可以让不同的考生都有所收获,还可以区分出不同层次的考生;从命题立意角度上看,主要考查空间想象能力,运算求解能力,推理论证能力.由于本省文科生没有学习用建系法求解空间几何问题,因此本道试题必须采用传统的综合法求解,所以说本题是考查学生是否掌握立体几何基本功的一道好题.

1.对第一步分析

第一步要证明面面垂直,根据课本中面面垂直的判定定理,不难想到首先证明线面垂直,因此考虑证明AB⊥面ACD,借助线面垂直的判定定理进行证明.

证明:由AB⊥AC,AB⊥DA,AC∩AD=A,得AB⊥面ACD.又AB⊂面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.

不难看出,本小步主要考查学生是否正确掌握空间中点,线,面位置关系的判断与证明.尤其是线面垂直判定定理,面面垂直判定定理的应用.这其中也渗透了转化与化归的数学思想方法.除了上述证明思路,其实还可以有如下的证明方法:

显然DB2=DC2+BC2,因此DC⊥CB.由DC⊥CA,DC⊥CB,CA∩CB=C,得DC⊥面ABC.又DC⊂面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.

这个思路抓住翻折过程中的不变量,结合条件AB⊥DA,运用勾股定理巧妙求出线段长以及得到垂直关系,更能体现出此类翻折问题的本质以及命题者命制本道试题的初衷.

2.对第二步分析

方法1:如图2所示,作QE∥DC,交AC于E,因为DC⊥面ABC,所以QE⊥面ABC.因此顶点Q到底面ABP的距离即为QE=1.

方法2: 如图2所示,作QE⊥AC,交AC于E,则QE∥DC,所以QE⊥面ABC.因此顶点Q到底面ABP的距离即为QE=1.

方法3: 如图2所示,作QE⊥面ABC,因为DC⊥面ABC,所以QE∥DC,又DC⊥AC,

所以点E在AC上,因此顶点Q到底面ABP的距离即为QE=1.

方法4: 如图3所示,作QE∥AC,交DC于E,则QE∥面ABP,所以顶点Q到底面ABP的距离即为点E到底面ABP的距离,即为EC=1,因此顶点Q到底面ABP的距离即为1.

上述四种方法其实本质是一样的,都是在图形中作出(找出)三棱锥Q-ABP的高,然后利用锥体的体积公式即可顺利求解.可否不用作出高直接利用锥体的体积公式求解呢?

除了上述几种解决方法,还可以运用分割法的思想来进行求解.

方法9:如图4所示,作PN∥AB,交AC于N.由于AB⊥面ACD,所以PN⊥面ACD.

上述两种方法是运用割补法中的分割法来求三棱锥Q-ABP的体积,虽然有些繁琐,但是能够很好地锻炼学生的思维能力,计算能力,转化能力,值得提倡.

3.阅卷过程中发现的错误

(1)第一步错误的地方有以下几点：

①部分考生没有正确写出两对垂直.

②部分考生只写一对垂直就得到线面垂直

③部分考生由两对垂直直接得到面面垂直.

④部分考生逻辑思维混乱,拼凑得到结论.

⑤书写不规范,如把∩写成∪,把面ACD⊥平面ABC写成△ACD⊥△ABC,把⊂写成∈.

(2)第二步错误的地方有以下几点:

①不懂得求出顶点Q到底面ABP的距离.

②求出顶点Q到底面ABP的距离为2.

三、教学启示

通过对题目的分析以及改卷过程中发现的错误,我们认为对立体几何教学应注重以下几方面.

1.立体几何的教学首先要注重基础,讲透基本概念,基本定理

立体几何是研究现实世界中物体形状,大小与位置关系的数学学科,通过直观感知,操作确认是学习这一知识的最好方法,因此教师在教学时要充分利用教学模型,引导学生真切,直观,具体地观察,感知,探究几何教学模型中空间点,线,面之间的位置关系,利用多种形式表征结构关系,这样学生更易于形成立体几何的认知和学习习惯,掌握立体几何的基本概念,基本定理,发展学生的空间想象能力,推理论证能力,提高图形语言,文字语言,符号语言的转化能力.

立体几何教学的根本目的在于培养学生的数学核心素养,其中关键在于提高学生的空间想象力,增强空间感知能力.为了实现这个目标,我们需要在直观想象的基础上培养学生的理性推理论证能力,理性的推理论证可以让学生更能清晰地把握空间几何体的空间位置,是学生建立科学空间观必不可少的思维历程.因此,在教学中,我们要帮助学生架构科学判断空间位置的一整套推理论证的思维图式.所谓思维图式,即主体在遇到同属性的问题时能及时作出相应思维的过程.在立体几何模块中具有非常多的思维图式,例如空间线线角,线面角,二面角的求作;空间平行位置关系的判断,空间垂直位置的判断等等.对于这些问题,我们要让学生建立正确而顺畅的思维链,即一遇到什么问题,我们要顺利地作出与问题相匹配的完整思维和动作,直至解决问题.

2.立体几何的教学要注重几何法(综合法)

利用空间向量解决立体几何问题弱化了立体几何的教育价值,因为空间向量解决立体几何问题更多是算法程序化的操作,少有对立体几何图形中点,线,面之间结构关系的分析,思考,不利于培养学生的空间想象能力.因此在立体几何的教学中一定要注重几何法(综合法).

新考纲明确规定删减几何证明选讲之后,高考命题调整考查方向,重在数学学科核心素养的考查,于是立体几何试题就成了搭载考查平面几何知识的载体和平台,综合考查能力陡然上升,学生的二维,三维空间思维得到很好的训练.平面几何知识渗透到立体几何中后,解题思路和难度徒然增大,学生在二维和三维间思维中不断转换,容易形成思维混乱,知识断层,思维链受阻,加上计算要求较高,就越发凸显学生的某一方面能力的严重不足,这就要求在平时的复习备考中,各种能力的训练不能马虎,要有针对性,有的放矢,知识的专项训练和综合提升两方面都要抓,都必须落到实处.