一种新的行进间初始对准误差模型及其应用

王律化，石志勇，宋金龙，王海亮

(陆军工程大学石家庄校区，河北 石家庄 050003)

惯性导航初始对准是确定初始导航参数的过程，分为粗对准和精对准两个阶段。精对准是对于粗对准建立的姿态矩阵进行进一步修正的过程，精对准的研究主要集中在误差方程和滤波算法方面。静基座条件下，系统误差模型主要有两种：一种是表示计算坐标系和导航坐标系之间失准角ψ误差模型；另一种是表示真坐标系和导航坐标系之间误差角Φ的误差模型，利用误差角为小角度的特点，可将误差方程进行线性化，满足线性卡尔曼滤波的要求，完成初始对准。随着对载体机动性要求的提高，初始对准由原来的静基座初始对准逐渐向行进间初始对准转化，小角度的误差模型和线性的滤波理论已经不能再满足初始对准的要求。

针对载体行进间初始对准精度问题，在里程计辅助惯性系行进间精对准的情况下，推导了精对准误差模型。通过降维处理和状态方程参量的自相关函数的正交化相结合，在降低滤波计算量的基础上，保证了滤波器在非白噪声情况下的滤波器的稳定性。由于在滤波过程中需要对于参量的后验概率密度进行数值解算，为提高解算精度，运用5阶球面-径向准则进行计算。仿真实验表明，在方位角为大失准角的条件下，该算法可以有效地保证较高的滤波精度，并且在噪声未知的情况下，滤波器保证很好的鲁棒性。

1 行进间捷联惯导系统初始对准误差模型

捷联惯导系统完成行进间粗对准后，根据姿态矩阵的解算，其水平失准角是小角度，而方位失准角为大角度。因此，进行行进间初始对准精对准的过程中，其误差模型应当使用大方位角误差模型。根据文献[1]和[10]，行进间捷联惯导大方位角误差模型表示为

(1)

捷联惯导实测位置和里程计的实测位置的差值作为量测值

(2)

综上所述，行进间大方位失准角误差方程为

(3)

式中:f(x)的表达式为式(1);噪声向量w和v是零均值，方差为Q和R的高斯白噪声;量测矩阵表示为：H=[03×303×3I3×3-I3×303×303×4]T.

因此，式(3)可以改写为：

(4)

式中：F(α)为状态矩阵；H为量测矩阵；g(α)和h(α)为非线性函数。

2 贝叶斯滤波过程及其改进方法

2.1 贝叶斯滤波过程

将式(4)进行离散化处理，可表示成：

(5)

贝叶斯估计的预测和更新过程中，都涉及到如下形式的多维微积分：

(6)

2.2 强跟踪贝叶斯滤波过程

上述贝叶斯估计，要求系统的噪声是高斯白噪声，但是在实际的工作状态下，系统噪声的统计学特性式未知的，这种条件下，单纯的使用贝叶斯滤波过程，会使得系统的滤波效果变差甚至造成滤波器的发散。为了提高滤波器的鲁棒性，使其在噪声条件未知的情况下，依旧有着很好的滤波性能和估计精度，并且在滤波过程中，在噪声发生突变的条件下，依旧使得滤波器的性能稳定。为满足上述要求，将强跟踪滤波(STF)和高阶容积滤波将结合，在保证滤波精度的情况下，使得滤波器的鲁棒性得到很好的提升。

将贝叶斯滤波过程写成如下形式：

Pk|k-1=Fk,k-1Pk-1Fk,k-1+Qk，

(7)

Pk|k=(I-KkHk)Pk|k-1，

(8)

(9)

式中，Fk,k-1表示从k-1时刻到k时刻的状态一步转移矩阵。

将次优渐消因子ηk代入到式(7)中得：

Pk|k-1=ηkFk,k-1Pk-1Fk,k-1+Qk，

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:tr[·]表示矩阵迹的计算；ρ的取值为0<ρ≤1，一般情况下取为ρ=0.95，在系统的噪声未确定的情况下，运用式(14)解算系统噪声， 使得系统噪声类似于高斯白噪声，从而便于进行解算。

3 5阶容积滤波解算方法

前文中关于强跟踪高阶容积滤波中参数的数值解算涉及到高维积分，因此，对于式(6)变形得：

(15)

式中：ri和wr,i是径向积分的采样点和采样点对应的权值；sj和ws,j是球面积分的采样点和采样点对应的权值；I(g)的总采样地点为NrNs个，当ri中有一个采样点为0时，I(g)的总采样点数为(Nr-1)(Ns+1)个。

3.1 5阶球面积分方法

(16)

式(16)为2m+1阶球面积分数值解算方法，式中IUn表示被解算的函数。式中的权值函数和采样点的函数值之和分别为

(17)

(18)

对于高维积分的数值解算，有如下公式：

(19)

当所要近似的积分阶数是5阶的时候，2m+1=5，则m=2，将结果带入到式(18)中得：

ws2=wp(2,0,…,0)=

(20)

(21)

ωs1所对应的采样点为

ws2所对应的采样点为：ej和-ej，其中j=1,2,…,n。

将式(20)和(21)以及采样点代入到式(16)中,则有

(22)

3.2 径向积分法则

对于5阶及5阶以下的高维径向积分，可以使用高斯-拉格朗日积分方法，但是，这个方法不能运用于5维以上的数值解算，为提高径向高维积分解算方法的适用性，采用时矩匹配法解算径向积分。时矩匹配法具体表示为：

(23)

式中:gr(r)=rl，rl∈[0,r2,…,r2(Nr-1)]，l是一个非负偶数;并且，当gr(r)=rl时，

因此，当运用时矩匹配法解算5阶径向高维积分时，得到如下方程：

(24)

式中,Γ(z+1)=zΓ(z)，由于式(24)式中有4个未知数，只有3个方程，同时为了保证采用时矩匹配法数值解算径向积分的采样点数最少，可以令r1=0，于是求得式(24)的解为

(25)

将式(22)、(25)代入式(15)中，运用5阶容积规则(Nr=2,Ns=2n2)解算得：

(26)

(27)

(28)

式(27)中，

Φk-1(αk-1)=Fk-1(αk-1)·

(29)

式(28)中，

(30)

式(29)和(30)中的Sk-1为对应变量的Cholesky分解,即Pαk-1=Sαk-1(Sαk-1)T.

4 仿真实验

载体在完成行进间精对准的过程中，为了验证强跟踪5阶CKF算法对于载体状体的估计精度和估计时间，以及在噪声未知条件下的鲁棒性，通过和3阶CKF算法在系统误差模型确定的条件下，3个方向失准角的对比以及在噪声条件未知的情况下，以航向失准角为例，对比强跟踪5阶CKF和3阶CKF的估计效果，说明强跟踪5阶CKF算法的估计精度和鲁棒性。

载体总的精对准仿真时间为600 s，假设载体的初始位置为45.235 1°N/85.238 4°E，高度0 m，陀螺为激光陀螺，其常值漂移为0.015(°)/h，随机漂移为0.001(°)/h，加速度计常值零偏为450 μg，随机漂移为10 μg，里程计的刻度系数误差为2‰，载体在完成粗对准后的失准角为(3°，3°，10°) 仿真结果如图1～3所示。

从图1～3可以看出，当失准角是小角度的时候，3阶CKF滤波和强跟踪5阶CKF滤波的滤波效果相近。图3中表明，当失准角为大角度的时候，强跟踪5阶CKF滤波相较于3阶CKF滤波方式，其对于失准角的估计精度有所提高，就估计时间而言，3阶CKF收敛的时间为345 s，而强跟踪5阶CKF中径向积分由于采用时矩匹配法解算，相较于采用拉格朗日方程解算的3阶CKF算法，其结构复杂，因此，强跟踪5阶CKF滤波在461 s以后开始收敛，有着明显的滞后。

当系统噪声信号的统计学特性变为E[wk]=0.2vb,E[vk]=0.3vb，即系统噪声的统计学特性和速度相关。系统的滤波结果如图4所示。

从图4中看出，当系统的噪声不能看成高斯白噪声的情况下，由于不符合3阶CKF滤波的噪声假设，使得对于航向失准角的估计不能随着时间的推移而有所收敛。但是强跟踪5阶CKF滤波，由于引进了将次优渐消因子ηk，从而使得有色噪声白化，使得最终的滤波效果可以收敛，从而实现最终的对准。

5 结论

针对载体行进间初始对准精度问题，在里程计辅助惯性系行进间精对准的情况下，推导了精对准误差模型。通过对于强跟踪5阶CKF滤波和3阶CKF的结果对比，得出以下结论：

载体采用强跟踪5阶CKF滤波方式估计载体行进间精对准的参数，并且在滤波过程中，针对状态方程维数高的问题，进行了降维处理。对比3阶CKF算法，强跟踪5阶CKF滤波在处理时间上延长了33.4%，但是计算精度上提高了25.2%；并且在非白噪声的条件下，滤波器保持良好的鲁棒性。