主理想环上一类矩阵对可同时三角化探讨

姜莲霞，邓 勇

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006)

设Mm×n(R)是有单位元e≠0的主理想环R上的m×n阶矩阵集合，GL(n，R)是R上的n阶可逆矩阵集合。令In和0n×k分别表示n阶单位矩阵和n×k阶零矩阵。设矩阵对A，B∈Mn×n(R)，用[A，B]=AB-BA表示其交换子。

称矩阵对A，B∈Mn×n(R)可同时三角化，如果存在可逆矩阵T∈GL(n，R)，使得

均为下三角矩阵。

目前，有单位元的交换环上的矩阵对可同时三角化的问题仍未得到彻底解决。我们已经知道，在有单位元的交换环上，矩阵对可同时三角化的必要条件是它们的特征多项式能够分解成一次因式的乘积。文献[1]研究了在主理想环上，当矩阵对的特征多项式的最小多项式为二次不可约多项式时，它们可同时三角化的问题。文献[2]在交换环上，建立了二阶矩阵族可同时三角化的充分必要条件。McCoy定理虽然给出了代数闭域上矩阵对可同时三角化的判据[3]，但是定理的条件却很难通过常规的方法去验证。在复数域上，文献[4-7]给出了将矩阵对同时三角化的构造方法；文献[8]给出了对称不定矩阵三对角化约化方法的新的方法；文献[9-10] 中给出了对称矩阵三对角化的算法设计；文献[11]给出了基于矩阵三对角化分解的DOA估计算法；文献[12]给出了实对称阵三对角化和二分法的结构优化算法。

众所周知，矩阵A∈Mn×n(R)称为对合矩阵，如果A2=In。显然，对合矩阵的最小多项式为m(λ)=(λ-e)(λ+e)。因此，A∈Mn×n(R)是对合矩阵的充分必要条件是(In-A)(In+A)=0n×n。基于此，在主理想环上，建立矩阵对可同时三角化的充分必要条件。

2 主要结论及其证明

值得注意的是，当R是代数闭域F时，矩阵对A，B∈Mn×n(F)存在共同特征向量的问题文献[13]已彻底解决。但是，当R是一般的交换环时，矩阵对A，B∈Mn×n(R)存在共同特征向量的问题却仍未得到有效解决[14]。

假设矩阵对A，B∈Mn×n(R)的最小多项式均为二次多项式，并且它们均可分解为一次因式的乘积。下面，建立这种矩阵对存在共同特征向量的充分必要条件。

定理1 设矩阵对A，B∈Mn×n(R)的最小多项式分别为

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2

其中：αi，βj∈R(i，j=1，2)。于是，A和B在R上有共同特征向量当且仅当交换子[A，B]是一个奇异矩阵。

证明 必要性显然。

由定理1可得如下推论：

推论1 对合矩阵对A，B∈Mn×n(R)有共同特征向量当且仅当(A-B)和(A+B)至少有一个是奇异矩阵。

(⟸) 设(A-B)和(A+B)至少有一个是奇异矩阵。因

(A-B)(A+B)=AB-BA=[A，B]，

故对合矩阵A和B的交换子[A，B]奇异。由定理1，矩阵A和B有共同特征向量。证毕。

现在，利用定理1的结果来建立Mn×n(R)中的矩阵对可同时三角化的充分必要条件。

定理2 设矩阵对A，B∈Mn×n(R)的最小多项式分别为

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

其中αi，βj∈R(i，j=1，2)。于是，A和B在R上可同时三角化当且仅当交换子[A，B]是幂零矩阵。

证明 (⟹)显然。

(⟸)设矩阵对A，B∈Mn×n(R)的最小多项式分别为

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

和

其中A1，B1∈M(n-1)×(n-1)(R)。因交换[A，B]是幂零矩阵，故

和

和

用类似方法，经过有限步后，必可得出结论：对矩阵A和B，存在矩阵T∈GL(n，R)，使得TAT-1和TBT-1均为下三角矩阵。证毕。

由定理2可得如下推论

推论2设矩阵对A，B∈Mn×n(R)的最小多项式分别为

mA(λ)=(λ-α1)(λ-α2)，α1≠α2

和

mB(λ)=(λ-β1)(λ-β2)，β1≠β2，

其中αi，βj∈R(i，j=1，2)，交换子[A，B]是幂零矩阵。若矩阵A可对角化，则存在矩阵W∈GL(n，R)，使得WAW-1是对角矩阵，WBW-1是下三角矩阵。

证明 因为交换子[A，B]是幂零矩阵，所以对矩阵A，B而言，存在矩阵U∈GL(n，R)，使得UAU-1=TA和UBU-1=TB均为下三角矩阵。又因矩阵A可对角化，故UAU-1可对角化。 容易看出， 对矩阵UAU-1， 存在下三角矩阵V∈GL(n，R)， 使得VTAV-1是对角矩阵，VTBV-1是下三角矩阵。 证毕。

推论3 对合矩阵对A，B∈Mn×n(R)可同时三角化当且仅当它们的交换子[A，B]是幂零矩阵。

3 结论

在定理2假设的条件下，本文得到了主理想环R上的n×n阶矩阵对A，B可同时三角化的一个充分必要条件。根据定理2的充分性证明，进而得到了通过有限步验证程序，将矩阵对A，B化简为下三角矩阵的一种方法。另外，还需注意到，本文的结论对初等除环上的矩阵对A，B依然正确。