摭谈数学模型构建的教学策略

陈荔丹

摘 要：小学数学教学关注数学模型的建构，有利于促进学生数学思维的发展，凸显学生的数学思考能力及问题解决能力，提升学生的学科素养。教师可以帮助学生在问题情境中建模、在探索规律中建模、在归纳推理中建模、在数形结合中建模、在解决问题中建模。

关键词：数学模型；学科素养；构建策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。因此，在教学过程中教师应充分重视发展学生的数学模型思想，帮助学生初步构建各种形式的数学模型，架起数学基础知识与数学应用之间的桥梁，提高学生学习数学的兴趣和应用意识，训练学生的数学思维，发展数学素养。下面从几个视角就在小学阶段如何构建数学模型，与同行共同商榷。

一、在问题情境中建模

数学知识的形成是从生活实践活动中逐步积累的结果，从学生生活经验出发去理解学习内容是小学数学学习的重要特征。教學中，教师要有意识地根据教材内容，有针对性地创设有利于引发学生数学思考的教学问题情境，以激活学生处于休眠状态的原有认知，促使学生的思维处于上升状态，引发其问题意识和探究欲望。在问题情境中有机地渗透模型思想，让学生在实践、探究、运用等活动中梳理出问题模型，形成一种解题模型的技能，发展模型思维，从而实现数学认知更系统、更完整。当学生在实际问题情境中完成建模后，紧接着教师进行“去情境化”的数学活动，紧紧突显所学数学知识的本质属性，实现从生活数学向学科数学抽象，从而真正完成建模的过程。例如，“鸡兔同笼”问题最初的教学就是在问题情境中研究：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26条腿。鸡和兔各有几只？学生凭借生活经验，知道鸡有2条腿，兔有4条腿，再根据问题情境，通过列表尝试，不仅解决了问题，得到鸡有3只，兔有5只；还逐渐明白了鸡兔只数虽然在不断变化，但腿的条数是不变的，从而发现构建了“2×（鸡只数）+4×（兔只数）=总脚数”这个数量关系模型，有了这个数量关系模型，就为“鸡兔同笼”的方程解和其他类似的数学问题奠定了基础。

二、在探索规律中建模

探索规律是小学数学知识结构的一项组成内容，在探索规律教学中，教师要重视让学生自己经历观察、猜想、分析、类比、抽象、概括、归纳等数学思维活动过程，在充分尊重学生主体作用的基础上，发挥教师的主导作用，把规律从具体的情境中抽象出一般模型，实现对抽象知识和数学思想、方法的理解与掌握，从而让学生把外化的行为与内在的思维活动结合在一起，在发现数学规律中完成建模，发展数学思考能力。例如，人教版五年级下册“打电话”教学，本节课重点是研究如何在最短时间内通知到所需的队员。学生先列举多种方案，然后通过观察、比较、类推、概括、抽象等思考活动，发现要使时间用得最少，就需要每个知道信息的人又立即通知别人，每个人都不能闲着。教学时，教师可以借助画图，运用数形结合的方法让学生直观形象地观察每分钟通知到的队员：

教师再引导学生对每分钟通知到的队员1、3、7、15……这组数列进行研究，并思考：为什么第1分钟只有1个队员知道，第2分钟就有3个队员知道……结合图画直观，学生很快会明白已接到通知的队员每人每分钟都再通知一个。最终发现：后1分钟接到通知的人是前1分钟知道信息队员的2倍再加老师也再通知的1个，也就是说，后1分钟接到通知的人是前1分钟知道信息队员的2倍加1，即第n分钟接到通知的队员和老师的总数是（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总数的2倍。学生在探索“打电话”的规律中，构建了这种“倍增”的数学模型，训练发展了数学思维，为后续解决同类问题提供了思路与策略。

三、在归纳推理中建模

归纳推理是一种由个别到一般的推理，它是由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。归纳推理建模，需理清要解决的问题，收集相关的信息、背景等，根据收集的材料，探寻要解决问题的相连认知基础。从似乎无规律的情况中抽取合适的内容，进行模型数据、形状以及其他资料的对比，进而找到规律，分析求解。最后进行模型的验证与应用，通过应用模型，查看其合理性，从而发展数学素养。例如，四年级下册求多边形的内角和（如下图）：

学生从图中发现，要求解多边形内角和，原来是把多边形分割成若干个三角形，然后用三角形的内角和乘三角形的个数就行了，而多边形分割成的三角形个数是（边数-2），学生通过观察、分析、概括，归纳出：多边形的内角和是180°×（n-2），这个数学模型的建立就水到渠成了。

四、在数形结合中建模

形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，数与形在一定条件下可以相互转化。数学学习中，学生通过数与形的相互结合，可以把抽象思维转换成形象思维，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，借助图形发现数的规律，从而建立数学模型。例如，人教版教材六年级上册第107页例1：

教学这道题时，借助摆正方形，从形引入，让学生观察说出每次增加了几个小正方形，3个大正方形分别有几个小正方形，用加法算式是1，1+3，1+3+5……；用乘法表示是1×1=12，2×2=22，3×3=32……。接着引导学生把数与形相互对照，思考：算式左边的加数排列有什么特点？在图中分别表示什么？左边对应的右边平方数又是图中的什么？如果照这样摆下去，第4个、第5个……正方形分别要摆几个小正方形？用加法算式与乘法算式分别要怎样表示？最后组织学生分组讨论：第n个大正方形包含的小正方形数应该是多少？你发现了什么规律？通过数形结合的相互转换，学生就能直观、简单地构建1+3+5+……+（2n-1）=n2这个数学模型。

数与形中隐藏着许多非常有意思的规律，容易引起学生的探究兴趣，教师在教学时要充分利用机会，一方面，要培养学生积极的数学学习情感；另一方面，让学生体会数学思想的价值与魅力。

五、在解决问题中建模

学生在解决问题时，通常要经历根据数学问题情境、理解与简化问题信息、综合运用数学知识与技能、分析问题结构、概括其中蕴含的数量关系、建立解决问题模型的过程，最后运用建立的模型解决类似的数学问题，提高知识运用能力和数学应用意识，形成并灵活运用数学思想、数学方法和解题策略，发展数学思考能力。因而，教师在解决问题的教学过程，要强调基于数学建模理念下的数量关系分析，关注数学模型的建构，促进学生知识的同化与顺应，有效培养学生触类旁通、举一反三的数学能力。例如，这样几道应用问题：

（1）一块长方形地的周长是80米，宽是10米，长是多少米？

（2）小明买两套课桌椅花80元，已知每把椅子10元，每张桌子多少钱？

（3）甲、乙、丙三个人去植树，甲种80棵树，乙种10棵树，甲种的棵数刚好是乙、丙种的总棵数的2倍。丙种多少棵树？

上述几道题看似素材、内容各不相干，但学生通过解决问题，发现这几道题的题目结构、数量关系、解题策略是相同的，即它们都是已知两个数的和的2倍是多少与其中一个数，求另一个数的数学问题，解决这几道题用算术解都是80÷2-10，列方程式都是（x+10）×2=80。这样便建立起了此类问题的数学模型，再设计几道数量关系类似的问题让学生运用模型进行解答，发展了学生的应用意识和解决问题的能力，使其体验学习成功的快乐，提高学习数学的兴趣。

六、结语

小学阶段对于学生数学模型建构能力的培养，有利于促进学生数学思维的发展，凸显学生的数学思考能力及问题解决能力，提升学生的数学素养。构建数学模型，是帮助学生搭建数学基础知识与数学应用的桥梁，能有效促进学生类推、迁移等能力的发展，提升数学学科素养，它应该成为数学教育的重要方法。

参考文献：

[1]张海燕.数学建模思想在小学数学教学中的应用[J].现代教育，2015（10）：88.

[2]陈 蕾.小学数学建模教学的三个关注点[J].上海教育科研，2013（8）：92-93.