例谈高中数学解题中巧用均值不等式

胡霞

【摘要】 本文重点分析了高中数学例题解题中使用均值不等式的相关问题，并围绕具体的试题，对均值不等式的使用方法进行了研究.从本次研究结果可知，巧用均值不等式能够提高高中数学解题能力，帮助学生寻找解题的新路径，所以应该做进一步推广.

【关键词】 高中数学;数学解题;均值不等式

一、对均值不等式确定最值问题的研究

在当前数学问题的计算中，均值不等式是计算最值问题的有效手段，同学们在利用均值不等式来解答数学问题时，需要先明确均值不等式的概念，并且均值不等式本身并不产生最值问题，而要产生最值问题必须要明确不等式的变量情况，并且在确定定式数据内容的基础上，确定两个变量所产生的其他代数值参数水平.

在这种情况下可以认为，在利用均值不等式解答问题时，需要了解两个变量数据的变化情况，在保障不等式定值s确定的情况下，则有乘积的最大值： s2 4 ;并且在两个变量乘积是定值P的情况下，有最小值2 P ;在和是定值的基础上，其积是定值时也不一定能获得乘积的最大值与和的最小值.

二、均值不定式在高中数学例题解题中的应用研究

（一）掌握均值不等式的解题技巧，深入剖析问题的要点

在利用均值不等式解题时，通过适当的问题变换能够进一步明确问题的解题思路，这也是均值不等式解题的最常见的方法.以下面例题为例：

假设实数a，b满足 （a-4）2 4 + （b-3）2 3 =2，计算a+b的最大值与最小值.

在上述问题的计算过程中，分析到：由于2= （a-4）2 4 + （b-3）2 3 ≥ （a+b-7）2 4+3 ，所以- 14 ≤a+b-7≤ 14 ，即- 14 +7≤a+b≤ 14 +7，在这种情况下可以分析认为，当3（a-4）=4（b-3）时两者的关系是成立的.在这一研究结论的基础上，可以判断得出，在条件 a=4+ 4 14  7 ，b=3+ 3 14  7   时，就可以确定a+b的最值情况，其中a+b的最大值等于 14 +7，最小值等于- 14 +7.

在上述问题的计算过程中，需要通过均值不等式将问题中的两个孤立的变量联系在一起，通过确定两者之间的数据关系，最终完成对最大值与最小值的计算.从习题内容来看，该题型在高中数学中较为常见，所以需要同学们能够进一步掌握均值不等式的概念，并根据问题的已知条件快速确定问题的要点，这样才能在短时间内寻找到问题的解题思路.最后在问题解题过程中，需要关注运用均值不等式时出现等号不成立的情况，所以在使用均值不等式的情况下，需要使用添项法来对不等式的内容进行明确，获得更精准的数据结果[1].

（二）利用均值不等式的成立条件来计算最值问题

根据均值不等式的概念（a+b≥2 ab ）可知，若两个正数的和是确定的，那么当且仅当两数相等时，乘积取最大值.简而言之，若两个正数的和是确定的，并且两个正数之间的差是零的条件下，两个数之间的乘积才是最大的.根据这一定理，我们在问题的分析中，可以尝试将一个正数拆分成为两个正整数的和，在这种情况下，若两个正数之间的差越小，那么两个数之间的乘积将会越大，例如，x，y∈ N ，且x+y=c，x-y=d（x≥y），则有xy= c+d 2 × c-d 2 = c2-d2 4 .根据这一结果可知，在d越小的情况下，xy的取值就越大;当d=0时，xy的取值最大.根据这一例题可以判断均值不等式所要闡述的内容，即：若c不能有效地分解成两个相等的正数之和时，此时如果d=1，则xy的取值最大.

根据上述研究结论可以判断，在利用均值不等式解题时，需要将一个正整数分解成为两个相等或者相邻的整数和，此时这些数据的乘积最大.那么根据这一思路，在解题过程中，可以利用均值不等式的概念，将一个正整数分解成为若干个正整数的和，并利用不等式的这个特点完成数学例题的解答.

假设有例题：分别用长度为1，2，3，4，5的五根细棒连成三角形（不允许细棒折断），计算三角形的最大面积.

在上述问题的解题计算过程中，可以假设三角形的半周长为l，则此时三角形面积的计算公式为S= l（l-a）（l-b）（l-c） ，这是因为三角形的周长是一致的，所以三边长在越接近的条件下，三角形的面积越大.在这种条件的影响下，可以确定三角形的三边构成应该为：1+4，5，2+3，则计算出三角形的最大面积为 25 3  4 .

三、结 论

均值不等式在高中例题解题中发挥着重要作用，通过进一步了解均值不等式的概念与使用方法，同学们能够熟练地掌握均值不等式的特征，并根据数学例题要求情况，有计划地对问题进行分解与优化，这样才能在最大限度上帮助学生了解数学问题的解题路径与手段，加深学生对问题的认识与了解，最终提高问题的解题能力，促进学生数学学习能力的提升.

【参考文献】

[1]罗仕明，李柳青.对“均值不等式的八种证法”再思考[J].白城师范学院学报，2017（6）：53-59，66.