教与学知效合一 提升数学思维品质

高建成

摘    要：知效合一是指认知活动、能力和学习效率、效果相统一.学生的认知能力、水平高，学习的效果就好，同时，良好的学习效果又促进了认知的加深.在知效合一的数学教学中，教师要不断地将孤立的知识点联结成具有内生活力的生态结构，提升思维品质，强化思维的深刻性、广阔性、灵活性、批判性和独创性.

关键词：知效合一;思维品质;教学分析

知效合一的“知”是指师生的认知活动、能力，“效”主要是指学生的学习效率、效果，知效合一就是认知活动、能力和学习效率、效果是相统一的.认知能力、水平高，学习的效果就好，同时，良好的学习效果又会促进认知的加深.教学中的一切认知活动、认知能力都是为提高学习效率、学习效果服务的.一切的认知活动、认知能力如果不能提高学习效率、学习效果，便不能算作真认知.反之，如果效率、效果不是以提高学生认知做参考，便不能算作真效率、真效果.一节有效率的数学课堂是“扎实”的课堂，一节有效果的数学课堂是“真实”的课堂，“扎实”“真实”的课堂最终落脚点是增强学生的认知能力，培养学生良好的数学思维品质.

在实际教学过程中，教与学是两个主体，作为教师要不断更新自己的知识体系和教育理念，研究数学课程标准，研究数学教材的设计，研究学生的心理，利用一切现有的教学资源，定期对自己的数学教学活动进行总结和反思，不断提高教师自己对数学专业认知的深度、高度、广度，从而满足学生的求知欲望和自豪感.因此，数学教师对教的相关认知就决定了教的效率、教的效果，决定了学生的思维层次.

教与学的知效合一深刻地影响到学生数学思维品质的建立和发展.数学思维又有很明显的三个阶段：经验材料的数学组织化阶段，即借助于观察、实验、归纳、类比、概括而积累的事实材料;数学事实材料的逻辑组织化阶段，即由积累的材料抽象出原始的概念，并在这些概念基础上演绎出相关的性质、判定等理论;数学理论的应用阶段，即将有逻辑体系的理论用于解决现实中的问题[1].数学教师只有清晰地明了学生思维所处的相对应阶段，采取合适的方法，选择适当的材料，提供必要的支撑，才能产生好的师生互动效应，提高数学学习的效率，获得好的学习效果.

因此，在数学的课堂教学中，教与学认知的深度决定行动效率，影响数学思维深刻性;认知的广度决定行动效应，拓展数学思维的广阔性及灵活性;认知的高度决定行动效果，提升数学思维的批判性.

下面以浙教版数学教材《3.2实数》为例，说明如何基于知效合一进行分析.

一、基于知效合一的教学内容分析   提升数学思维的深刻性

浙教版数学教材《3.2实数》是一节概念课，主要内容有无理数的概念、实数的概念和分类、实数与数轴上的点一一对应.实数把数的概念扩充到初中阶段最大的范围.从概念形成的方式来看，无理数是形成发生定义，实数是列举定义.无理数的产生是由小学的“小数型”（无限不循环小数），到初一的“根号型”（[2]，[3]等），再到“小数型”（用逼近法来确定部分“根号型”是无限不循环小数）的过程，这充分体现前后知识之谐.

基于以上认知的深度，针对本节课概念性强、例题不多的特点，将“微课”融入课堂教学，让学生了解“无理数”的发生和发展史，抽象并建立起“无理数”及“实数”概念，实现把数的概念扩充到初中阶段最大的范围，提高课堂学习效率.同时为今后进一步学习方程、不等式、函数等知识奠定基础，提升数学思维的深刻性，

【微课片段1】神奇的[π]

（先简介祖冲之、刘徽、阿基米德等古代对圆周率[π]进行过研究的数学家及他们的贡献）

德国数学史家莫瑞兹·康托说得好：“历史上一个国家所算的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标.”数[π]原本来自圆的几何学，但它还反复出现在各种各样的科學现象中.例如，[π]似乎操纵着弯弯曲曲的河流的长度.剑桥大学的地球科学家汉斯-亨利克·斯多勒姆教授计算了从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之比.虽然这一比率因不同的河流而变化，但是它们的平均值只比3略大一点，也就是说大致上是直接距离的3倍.事实上，这个比近似等于3.14，接近于[π]的值.

二、基于知效合一的学生学情分析   提升数学思维的广阔性

学生在认识数的过程中，经历了一个不断抽象的漫长过程.小学里，学生基于生活经验与具体的实例认识了自然数、整数和分数，而对实数的认识却是“超经验”的，因此学生在认识与理解实数上带来很大的困难，况且本节课的授课对象是初一学生，初一学生的思维正处在以具体形象思维向逻辑思维过渡的关键期.要让初一学生经历一次新的数系扩充，理解实数概念是一件并不容易的事.

歌德曾经说过：“一门学科的历史，就是这门学科的本身.”因此，数学教师还要看到，历史上人们对无理数的认知也是非常艰难的：公元前3000年古巴比伦已经计算了[2]约为1.41423;公元前470年，毕达哥拉斯提出万物皆数时，发现[2]的问题，即不可以用两个整数之比，觉得是“无比数”，后来翻译成中文，变成“无理数”;到18世纪，人们首先用计算的方式，算出一些根号数的值，而后才证明出[2]是无理数[2].学生的数学认知与历史的发展有相似性，因此，学生对无理数认知的困难也就不难理解了.

基于上述认知的广度，考虑到初一学生的年龄特征和认知水平，在教学中充分发挥师生、生生、生本之间的互动效应，理解无理数、实数的概念，了解实数的分类，正确区分有理数与无理数，并能用尺规将[2]在数轴上进行表示，了解实数与数轴上点的对应关系，进一步了解无理数的相反数、绝对值、倒数是合理的，从而让数学的思维更广阔.

【微课片段2】如何理解“理”的含义？

《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“比”译成了“理”，即理就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”;同样，“无理数”应该理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“没有道理的数”.因此，也有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.

三、基于知效合一的教学法分析   提升数学思维的灵活性

理解无理数、实数的概念;在和有理数的类比学习中，了解在实数范围内，相反数、倒数、绝对值和大小比较法则仍然都适用;在将实数准确和近似表示在数轴上的操作过程中，渗透数形结合的思想，解决实数与数轴上点的一一对应关系.以上三点是本节课的教学目标，要完成这一目标，需要相应教学法的支持，需要学生在体验用有理数估计一个无理数范围的过程中，对数进行分析、猜测、探索的方法，通过微课提升学生数学史素养，激发学习兴趣.

基于以上认知的高度，课堂教学中从学生认知水平的最近发展区出发，让学生写出各种类型的数并归纳出共同特点，初步认识到数可分为两类——有限循环小数和非有限循环小数，而后教师采取边讲边问的教学模式展开教学，课间穿插了活动教学、动手实验、合作学习等多种辅助教学，从而达到帮助学生认识无理数、理解无理数，建构实数概念的效果.

由于实数概念抽象难懂，教师要抓住π、[2]这两个特殊的无理数教学进行重点解剖，借助于微视频看一看、正方形纸片折一折、计算器按一按、直尺圆规画一画等教学手法，多角度地引导学生认识这两个无理数的特点，加深对无理数的理解，使抽象的无理数变得具体直观，完成实数概念的初步建构，有效突破教学难点，提升数学思维的灵活性.

【微课片段3】[2]由来的故事

希伯索斯发现无理数

古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数，这导致他宣布“万物皆数”，宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达.但是后来毕达哥拉斯学派的门徒希伯索斯发现正方形的对角线与边长的比不能表示成两个整数之比，从而打破了他们的这一信条，导致西方数学史上的“第一次数学危机”.

无理数是一个确定的数，却不能把它全部直观地表示出来.教师可以采用问题发现法，让学生运用已知的有理数进行比较，来建立新知，通过师生探究活动和微课的介绍，给无理数概念的形成搭建台阶.

问题是数学的心脏，一个好的问题，常常能唤起学生的求知欲.本节课可以设计以下既有独立又有联系的七个问题：

问题1：请你尽可能多地列举不同类型的数.

问题2：你能说出π小数点后几个数字？它有何特点？

问题3：请用边长为2米的正方形白纸，折出一个面积为2平方米的正方形.（折纸步骤见图1）

①你折出的面积为2平方米的正方形边长为多少？

②面积为2平方米的正方形边长介于哪两个整数之间？为什么？

问题4：[2]十分位上的数字是多少？百分位、千分位……呢？

问题5：下列各数中哪些是无理数？

[5]，1.23，-[36]，[-π2]，3.14159，0，[227]，

-0.1212212221，0.1010010001L（两个1之间依次多一个0）

问题6：无理数[2]如何在数轴上表示？

问题7：请把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）.

-1.4，  [8] ，  3.3， [π] ， [-2]，  1.5

这七个问题围绕实数概念教学，层层递进，贯穿五个教学环节，问题1、2通过开放性设问，温故知新，问题3、4、5、6围绕[2]设问，帮助学生认识、理解、掌握无理数概念，进一步掌握实数概念.问题7设计了3个有理数、3个无理数的排序问题，是实数大小比较的典型范例，让学生对新学的无理数有一个几何直观描述，有利于学生加深对实数概念的理解.同时，这七个问题内涵极其丰富，要通过问题中的子问题进行不断变式，让学生的思维更加灵活，從而达到深度理解.

四、基于知效合一的数学拓展分析   提升数学思维的批判性

从对[2]是否为无理数的说理来看，所有的教材都从学生的认知水平出发，作了一个描述说明，有其合理性，这也是义务教育数学课程标准的要求.但从严谨性角度看，仅凭观察来判断[2]，[3]是无理数，总觉得缺乏数学味，与数学的严谨性有悖，有一种言犹未尽之感.

事实上，从反面来说明[2]，[3]是无理数，一部分优等学生还是能接受的，这一做法对学生思维的严谨性、批判性培养更好些.当然，要通过前面形象的案例或视频，让学生认识到有理数可表示两个整数的商，而无理数不能.

基于以上认知，建议在学生接受描述的说明后，用反证法思想给予证明.下面给出证明：若[2]是有理数，则存在互质的两个整数m， n使得[2=mn]，即[2=（mn）2]，也即[m2=2n2]，所以m是偶数.设[m=2k]（k是整数），得n2=2k2，所以n是偶数，m， n有一个约数2，与m， n是互质矛盾.

最后让学生当堂回答[3]是不是无理数，并说说理由.进一步变式，练一练[2]+1，[3-2]，[32]是不是有理数，等等.

课外拓展学习时，安排《实数的公理化定义》微视频，进一步形成对无理数描述性定义的批判，不断强化批判性思维，拓展学生眼界.

【微课片段4】实数的公理化定义

1872年，实数的三大派理论：戴德金的“分割”理论、康托尔的“基本序列”理论以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论同时在德国出现.实数的三大派理论从本质上给出无理数的严格定义，从此无理数才真正在数学园地中扎下根，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机.

总之，知效合一理论告诉我们，数学教师对教的认知深度决定教的效率，学生对学的认知深度决定学的效率.教与学认知的综合作用，就能达到深度理解，提升学生的数学思维品质.

参考文献：

[1]刘堤仿.数学教师专业发展的三维视角[M].北京：现代教育出版社，2008：172-173.

[2]宋万言，栗小妮.实数的概念：折纸、拼图中发现，计算、比较中建构[J].初中数学教与学，2017（12）：43.