数学的章节起始和章节复习都应融会贯通

陈春涛

摘    要：核心素養视角下的课堂应是融通的课堂，知识的融会贯通也是学生学习所追求的境界.课堂中教师需要与学生共同努力，共建融通的课堂.教师可以从以下方面努力：章节起始课需要注重脉络梳理，新授教学力求一题一课;章节复习时教师尽量做到一题多变;学生则需培养自主学习能力，通过整理章节笔记融合知识，最终形成高效课堂，沉淀为核心素养.

关键词：核心素养;章节起始;章节复习;融通

核心素养视角下的课堂应该是融通的，知识之间脉络贯通，课堂环节流畅自如，知识的应用圆融自然.在这样的课堂中，每节课都需要注意知识的承上启下.在章节起始课和章节复习课中，这一特点体现得更为清晰.下面，笔者以自己的教学经历为例，对于构建融通的课堂谈谈个人的看法.

一、模块起始的教材解读注意脉络梳理

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对教材的编写提出以下要求：“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性.”对知识整体性的把握，即知识脉络的梳理，一般体现在章节起始课和复习课中.起始课注重的是整个模块知识的融通，而复习课则多注重章节知识的融通.故在章节起始课中，既要立足于学生小学时的学习基础，又要阐明本章节的知识脉络以及对后续学习的影响.以有理数的起始课为例，有理数是数与式模块的起始课，对于它的理解影响着模块后续知识的学习，故在有理数起始课的教材处理中要注意这样几处细节.

一是梳理数的发展过程.课文的引例图展现了从结绳计数到分数产生的过程，在自然数范围内，加法、乘法、乘方运算是封闭的;后来为解决“除不尽”的问题，引入了分数;现在为解决“减不够”的问题，又引入了负数，此时的“数”就扩充到了有理数集;在有理数范围内加、减、乘、除、乘方运算都可以畅通无阻，但乘方的逆运算，即开方或对数运算的结果并不全是有理数，故后续还需扩充数的种类，学习新的运算.

二是理解有理数的构成：符号（性质符号）和数值（绝对值）.课文中谈到“像……这样在正数前加上符号‘-（负号）的数叫作负数”.即从“数”的角度来看，有理数就是在小学所学的数的前面添上“+”“-”号，故有理数可以从符号和绝对值两方面分类，运算时也要先确定结果的符号，再确定数值（绝对值）运算的结果.

三是理解正数与负数是一组互为相反意义的量.课文的归纳部分讲道：“如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数表示.”既然具有“相反意义”，那么有理数进行加法运算时异号的部分可以互相抵消，同号的部分则可以累计，以此可以比较容易地理解有理数的加法法则.

四是正号可以省略，负号表示相反意义.课文中还谈到正号可以省略不写，因此加减运算都可以统一为加法运算，如：+5-（+6）+（-2）-（-4）可以简写为5-6-2+4.在这一过程中，-（+6）与+（-2）省略了“正号”，“减-4”直接理解为“负的-4”，这种将性质符号与运算符号统一的做法并不影响计算的结果.

第一处细节注意了小学中关于数的认识，梳理了“数”的发展历程，后三处细节则理解了本节需要理解的运算对象——有理数.这些认识不仅统领了整个有理数一章，而且贯穿了整个代数计算.例如：（5a-3b）-3（a-2b）的后一个括号，可以运用分配律，将-3分别与a和-2b相乘，直接将原式化简为5a-3b-3a+6b.应用加减消元法解方程组[2x-5=3y2x-1=y]时，两式相减，得到-5-（-1）= 3y-y，其中的-5，-1都理解为“负5”“负1”，而不是“减5”“减1” .函数y=2x-3中，根据k=2>0，b=-3<0，可知图象过一、三、四象限，式中的-3理解为“负3”，而不是“减3”.

由此可见，模块起始课的脉络梳理有助于学生理解知识结构，起始课知识的融通理解是后续学习的关键.

二、章节起始的新授教学力求一题一课

学习的主阵地在课堂，一堂好课应该像一首流动的小诗，课堂环节之间流转自如，知识之间一脉相通.要做到这一点，课堂上就不能有太多孤立的例题，尽量以一道例题或一个知识点贯穿整节课堂.

以平行四边形的起始课为例，本课中需要学习平行四边形的概念与性质，知识点较多，所以，如何将众多的知识贯穿起来，是形成融通课堂的关键.课本中有这样一道例题.

原题   如图1，在[?]ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证AE=CF.

本课的所有知识点都可以以此为原型，通过题目的变形来贯穿始终.

概念学习：如图2，这个图形在小学曾学过，名称是什么？（追问：为什么叫“平行”四边形？）

性质学习：图2中的线段除了含有平行的位置关系外，有没有其他关系？除了边，图中的几个角有特殊关系吗？请证明你的结论.

性质练习：如图3，在[?]ABCD中，DE为∠ADC的平分线，（1）若∠A=38°，求其他角的度数;（2）若DE将AB边分成5cm和3cm两部分，求平行四边形的周长;（3）如图4，若BF为∠ABC的平分线，求证DE[?]BF且DE=BF.

例题学习：如图1，若DE，BF分别为AB，CD边的高，则DE与BF的位置关系和数量关系是否发生变化？请说明理由.

概念学习：像这样，过两平行线上任一点，到另一条直线的距离，叫作两平行线间的距离.两平行线间距离处处相等.

例题变式：（1）若E，F分别为AB，CD边上的中点，结论是否依然成立？请说明理由.（2） 若E，F分别为AB，CD边上的动点，请你添加一个条件，使DE[?]BF且DE=BF.

（说明：要引导学生添加新的条件，从边和角两个角度去添加，如：AE=CF，或∠CDE=∠ABF.注意规范书写）

课堂练习：（1）如图4，在[?]ABCD中，DE为∠ADC的平分线，F为CD上一点，连接BF，若DE[?]BF，求证：BF为∠ABC的平分线.

（2）如图5，平面直角坐标系中，[?]ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（6，0），（1，4），①求点C坐标;②若DE[?]BF，且AE=5，求点F的坐标.

上述的教学设计以课本例题图形为蓝本，借助例题中的图形，从认识图形概念开始，在图形中逐步添加角平分线、高线、中线等线段，将平行四边形的概念、性质、例题逐一呈现，再通过改变已知条件、添加条件、交换题设与结论等各类变式，将平行四边形边、角的性质与此前所学的三角形全等、平面直角坐标系等知识有机融合，使整堂课一以贯之.课堂中学生每一步的学习都以前面所学的内容为台阶，通过不断搭建脚手架，最终形成高节奏、大容量、有思维含量的高效课堂，学生的知识正是在这种融通中逐渐融合，沉淀为核心素养.

三、章节复习的例题编写尽量一题多变

影响学生数学学习的因素是多方面的，不仅有知识表里和前后的关系，还有知识之间横向的关系.重视沟通数学知识之间的联系，由“点”及“链”，由“链”及“网”，有利于学生形成完整而开放的认知结构，促进知识的建构和生长.融通的复习课堂应当是八方联系、高度整合的课堂，这就要求复习时注重一题多变，以一道题目为背景，充分挖潜.具体以初一平面直角坐标系的复习课为例.

如图6，已知在△AOB中，A，O两点的坐标分别是A（1，5），O（0，0）.

（1）将图6中的平面直角坐标系补充完整，写出点B坐标.

（2）将△AOB先向左平移3个单位再向上平移2个单位，得到△A1O1B1，并写出这三点的坐标.

（3）求△AOB的面积.

（4）另作一点C，使A， O， B， C四点形成的四边形是平行四边形.

（5）若△AOB向左平移3个单位，试求在平移的过程中△AOB扫过部分的面积.

（6）请用方位角加距离的方法表示A， B两点间的位置关系.

（7）在坐标轴上找到一点D，使△BOD的面积为5个单位.

（8）点E为y轴上一动点，若△ABE的面积是5个单位，求点E的坐标.

新授课中的一题一课是针对当堂知识的小融合，复习课中的一题多变则是某章节或某模块知识的大融合.这里的几道小题从一个学生熟悉的图形出发，步步深入，覆盖了同背景下可以关联的大部分知识.更重要的是如果把这些题目添上二次函数背景，就成了中考中常见的二次函数综合题.如：第（3）小题求三角形面积，本题中常用“补”的方法来求，若添上二次函数背景，该方法依然适用，即使三个点中有一个点为动点也依然可用相同的方法，这种用简单方法解决复杂问题的能力就是核心素养的体现.

四、自主融通的学习方法推荐笔记整理

心理学研究发现，待优生与优生在知识的组织方式上存在差异，前者头脑中的知识是零散和孤立的，知识呈水平排列方式或列举方式.而后者的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，而且有内在联系，如果把他们头脑中的知识结构画成一幅图的话，就呈现出一个层次网络系统.

知识融通的前提就是知识的结构化，知识结构化的过程应当是一个主动的过程，教师的课堂融通只是提供知识结构化的范本和环境，最终的内化仍然需要学生自己完成.

笔记整理就是一种很好的方法.在每个章节的学习结束后，可以通过布置学生整理章节笔记的方法来复习.具体要求是：（1）按知识点整理笔记，每个知识点配备一至两道对应的习题;（2）技能训练的习题少而精，如计算题必须每道题都有针对性;（3）每次的笔记至少有一道题目包含一题一课的思想，能够融合多个知识点.

交流流程是：（1）个人整理笔记;（2）小组内交流，将整个小组学生的笔记整合为一份;（3）大组交流，每三个小组组成一个大组，融合成一份笔记;（4）以大组为单位全班展示.

以下是笔者任教班级某个大组全班交流时展示的有理数计算题，一共只有6道，但每一道题目都具有针对性.

（1）[（+4）-（-6）+（-3.2）+（+5）-（+6.8）]

【目的】训练将加减统一为代数和形式，复习有理数加减法法则，考查加法结合律.

（2） [-234+713-512-456]

【目的】训练异分母的带分数加減法，合理两两组合，注意带分数运算时“借1”和“进1”的情况.

（3） [-1÷12×（-23）÷（-34）×45]

【目的】训练多个因数相乘除时先确定符号的习惯，注意同级运算从左至右运算，不能直接相邻两数约分.

（4） [-12-（-32）+（-13）2-223+432]

【目的】理解有理数的乘方法则，注意理解乘方的底数.

上述四道计算题覆盖了有理数计算中常见的技巧与注意事项，很难想象初一的学生能够整理出质量这么高的笔记，但借助自主学习和小组交流学习，最终达到了这一高度.

融通，即融会贯通，意思是参合多方面的知识或道理而得到全面的透彻的领悟.这是一项标准很高的要求，拥有“无招胜有招”式的通透.