数学史知识的渗透对数学教学的作用

包加强

摘 要：随着初中数学教材版本的不断更新，数学史知识在数学教材中已经必不可少。其在数学教学中的渗透也成为必然趋势。本文通过对数学史案例的分析发现，第三学段数学教学中数学史知识的渗透对提高学生数学学习兴趣的作用有：提高课堂教学效果；激发学生的求知欲和创造力；培养科学的思维方法；激发学生学习的兴趣等。

关键词：第三学段数学教学；数学史知识；数学学习兴趣；数学名题

数学是人类文化的一部分，数学教学已经是我国义务教育必不可少的一门教学；把数学史渗透于数学教学更是迫在眉睫。姜伯驹先生谈数学课程改革时强调“初中是一个理性与思想的启蒙教育阶段，能否有理性地、有思想地启蒙是这个时期教育的关键”，初中阶段，新课程中数学史已经成为学生培养学生兴趣，提高学生学习数学积极性的一个重要方式。随着数学史图像的增多，新教材比旧教材要浅显许多。但是就课程标准而言，教育部对数学教学的要求并没有变低，反而是高了很多，提出了培养学生自学能力，创新能力的要求，而创新是相对有一定基础而言的。中国式的考试，永远是基础的最好体现。在现代教学中，老师们习惯让学生把时间花在题海战术上，以为这样的考试立竿见影，然而一次次的考试，一次次的压力只是让学生心理更加焦虑，逐渐影响了学生学习数学的自信心。我觉得教学生不可一蹴而就，教书就像熬汤一样需要掌握火候，在课堂上提及数学史知识，让学生慢慢去体会，他们将会给你惊人的答案，所以说数学史知识的渗透是值得深思的。以此为背景，本文主要通过对教材上数学史案例的分析探讨在第三学段数学史知识的渗透对提高学生兴趣的作用。

1 第三学段数学教材中数学史知识案例

1.1 为什么 不是有理数

公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数的比（分数）表示。后来，当这一派中的希帕索斯（Hippasus）发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或者整数比表示，即 不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此，引发了第一次数学危机。[1]

随着认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 不是有理数，并给出了证明。下面给出欧几里得《原本》中的证明方法。

假设 是有理数，则存在两个互质的正整数p，q使得

于是

两边平方得

由2p2是偶数，可是p2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数

因此，可设p=2s，代入上式，得 ，即

所以q也是偶数。p和q均为偶数，不互质，这与假设p、q互质相互矛盾。

所以得 不是有理数。实际上， 是无限不循环小数。

1.2 费马大定理

根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长a，b和斜边长c都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如：3，4，5；5，12，13等）都是这个方程的正整数解。

高于二次方程 ， …是否也有正整数解呢？这个问题引起了法国数学家费马的研究兴趣。费马在读古希腊数学家丢番图的《算术》一书中，在有方程 的那页页边上，写下了具有历史意义的一段文字：“……将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的，关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。[2]用数学语言来表述，费马的结论就是：当自然数 时，方程 没有正整数解。

上述命题被称为“费马大定理”。它的证明引起了世界各国数学家的关注，包括欧拉、高斯、勒贝格在内的许多著名数学家都对这个命题做了深入的研究，但一直没能证明它。费马大定理的研究给数学界带来了很大的影响，很多数学成果、甚至数学分支在这个过程中诞生，费马大定理也因此被数学界称为是一只“会下金蛋的鸡”。

费马大定理的证明最终由英国数学家怀尔斯完成。怀尔斯在很小的时候就梦想能证明费马大定理，后来为此做了大量的努力和准备。1986年，他发现了定理证明的一种可能的途径，就开始全力以赴的投入到定理证明中来，1993年6月怀尔斯在英国剑桥大学的学术讨论会上报告了他的研究成果，立即引起了全世界数学家和数学爱好者的关注。在这以后，他又用了一年多的时间补证了专家小组发现证明中的疏漏，并最终于1995年彻底完成了证明.

2 发挥数学史对提高学生学习数学兴趣的作用

2.1 穿插中外数学家的故事，培养热爱数学的志向

在讲直角坐标系时，就讲讲关于迪卡儿发现直角坐标系的这段故事。这件事发生在迪卡儿服兵役时期，据悉，迪卡儿当时就是类似现在的侦察技术兵，不过他对数学一直非常热爱和痴迷，当时是秋天，他们兵营驻扎在多瑙河右岸，前两天还在左岸，他躺在草地上，看着满天繁星，思绪跑了很远，他在想天上繁星点点，怎么通过几何与代数的方式表达出来呢，前两天在多瑙河左岸，这两天又到右岸，中间是乌尔姆镇，想着怎样帮助排长制作一个好的确定目标的方法，这样想着不自觉间就进入了梦想，他梦见他一个要好的战友将他从床上拉起，指着外面夜空中的星星，从身后掏出两支箭矢，搭成一个“十”字型，对他说：这样我的箭可以射到我想射的任何地方，这时他的脑子里闪过一道灵光，可总觉得很模糊，然后好友又道：我的这两支箭矢可以将整片天空分成四个面，就像咱们现在所处乌拉姆镇一样，乌拉姆镇在中心，前两天在左岸，现在在右岸不就是表示出来了吗？糊里糊涂中，好战友将他推入了水中，他一下子吓醒 ，才知道这只是一个梦，他就接着刚才的梦先画了一条竖线，表示为y；接着又画了一条横线，表示为x，完成了伟大的直角坐标系。这个发现是他对数学的研究，熱爱，日思夜想的结果。通过讲述他对学习数学的热爱，激发学生学习的兴趣。

在数学课堂中穿插一些富有启迪作用的数学故事，激发、调动学生的学习积极性，主动性，引起学生的好奇心，激发学生学习欲望，让学生更好的领会所学的知识。活跃课堂气氛，提高课堂教学效果。

2.2 介绍中国数学史的发展，激发学习数学的热情

我国数学史的发展相当悠久，两汉时期，已经有专业的数学著作《九章算术》、《周髀算经》等出现，有一套独立数学知识体系，对后世数学产生了一定的影响，在那时数学发展已经到了一个高峰阶段。

魏晋时期，中国的数学理论体系有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的数学理论体系为最。赵爽将数学定理和公式进行了证明，以及对《周髀算经》做了详细补充说明。学习勾股定理时候，就可以引入赵爽的勾三股四弦五。刘徽将《九章算术》进行了详注，他将里面的公式、定理作了推导证明，还提出来一些新的思路，又在这基础上撰写《海岛算经》。著名的割圆术就是刘徽创立的，这为周率的产生奠定了基础。在学习圆的过程时，讲到刘徽的圆周率，刘徽将圆周率精确到小数点后两位的近似值兀=3.14，用分数表示是157/50被称为的“徽率”。刘徽还是第一个提出数学极限思想并运用的人。

南北朝时期，数学发展又一次达到高峰，有很多数学著作出现，有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等。祖冲之、祖暅父子是当时数学方面的杰出代表，他们研究数学思维方法及推理，将传统数学推向了一个新的高度。祖冲之将圆周率精确到小数点后第七位，得出；祖暅还提出了“祖氏原理”，即“幂势既同，则积不容异”，也就是说：两个相等高度的立体图形，如果他们的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。西方的“卡瓦列利原理”比“祖氏原理”迟了一千年多年。由此看来中国的数学水平在当时国际上处于领先地位。

在宋元时期，传统数学到达黄金时期。这一时期涌现出很多数学家，如杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，他们的成就已经达到了当时数学发展的最高峰。主要成就有：高次方程数值解法；天元术与四元术；大衍求一术，现在称为中国剩余定理；招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和等等。在讲授二项式时，提到杨辉三角，突显当时我国在数学上的伟大成就。

教授数学课时，讲讲中国数学的发展史，以及一些伟大的数学家还有他们的成就，提高学生的民族自豪感，激励学生奋发图强。

2.3 体验数学发现的乐趣，激发求知欲和创造欲

通过下面教学案例，可以让学生体会数学的乐趣，激发学生的求知欲和创造欲。

师问：某段楼梯有10级台阶，按照规定每一步只能跨一级或两级。如果要登上第10级台阶，会有几种不同的方法呢？[3]

（学生的好奇心一下子调动起来，试验着，探讨着，争论着，……）

生3：如果登上一级有1种方法。若登上二级有2种方法，若登上三级有3种方法，若登上四级有5种方法。登上六级有8种方法……

师：你才登上六级。离十级还远，关键的是要发现规律。

生3：发现其中隐含的规律，以上结果排成的数依次为1，2，3，5，8，…，而3=1+2，5=2+3，8=3+5，……，得出从第3个数起，每一个数都等于它前两个数的和。

师：这就叫做突破。

生3（极其兴奋地）：l，2，3，5，8，后面数依次为13，2l，34，55，89。

讲到这里再到历史上著名的“斐波那契数列”，是不是跟这个原理一样呢，为了拓宽学生的视野，激发学习热情，给同学们讲到，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来 越逼近于黄金分割数值0.618033……。刺激学生的乐趣，让学生自己动手体验，激发求知欲以及创造欲。

2.4 解决中外历史名题，激发学生学习自信心

通过给学生讲解历史名题，使他们感受到数学的魅力与中国古代数学家的高明。这样不仅促进了学生学习兴趣，同时开拓了学生看数学的眼光，提高了数学思维方式，还可以加强调动学生学习自主性。通过对古人的事例说明，让学生更好地发散思维，创新学习。

例1 最早研究方程的是古希腊数学家丢番图。在他的墓志中写着这样一段话：“丢番图一生有1/6为童年，1/12为青年，1/7为单身汉，在结婚5年后，生了个儿子，儿子在他最终年龄的一半时候，比他的父亲早4年死去。”求丢番图的年龄。[4]

解：设丢番图的年龄为x岁

解得 x=72

答：求得丢番图的最终年龄为72岁。

在“求解二元一次方程组”的教学中，推出古代著名的“鸡兔同笼”问题。

例2 [5]鸡兔同笼，共有头5个，脚16只。请问鸡兔各几只？

解：假设有鸡、兔分别有x、y只。则

解得x=23，y=12

答：鸡有23只，兔有12只。

3 结论

将数学史融入中学课堂教学，可以让学生更好地认识数学、学好数学，提高学生学习数学的兴趣，将古代数学史料进行改编，丰富了课堂教学内容、提高了教学效果，更好地帮助学生认识数学的思考方法与增强数学解题能力。现代教学中，数学史知识的渗透被越来越多的人重视。在教学中有意渗透数学史，提高学生学习兴趣，学习积极性，将是以后数学教育的大趋势。只有把数学史知识渗透到了数学教学中学生才能更好地理解数学，提高学习数学，研究数学的兴趣，才能够更好地领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新精神。

参考文献

[1]徐冠中.数学史在数学課程中的文化价值[J].西南大学，2006，32页.

[2]九年义务教育全日制初级中学数学学大纲—（试用）[M].北京：人民教育出版社，1995.

[3]陈银芝.初中中等生数学学习激励机制的研究[A].浙江师范大学，60页.