试论新课程理念下数学教学要展现学生思维过程

摘 要：培养学生的思维能力是高中数学教学追求的重要目标之一。新课程的基本理念就是：“倡导积极主动，勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力。”因此我们要注意在讲解过程中体现数学的思维过程，支持学生积极思维，大力推举到数学知识的形成过程，必须让孩子们提高思维能力并且灵活运用所学知识去分析理解具体的问题；笔者根据自己的教学实际从以下两个方面加以说明。

关键词：新课程；数学教学；学生思维

一、 解题教学要有解题途径的探索过程

在课堂教学中，教师可使用引导性的提问提高学生思维。下面是笔者的教学实录：

案例1 已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，Q为AB的中点，过Q作x轴的垂线交C于点N；证明：抛物线在点N的切线与AB平行。

师：解题的目标是什么？

生：证明切线与直线平行。

师：那么如何证明两直线平行呢？

生：只要说明他们的斜率相等就可以。

师：直线AB的斜率为k，抛物线在N点的切线斜率如何表示呢？

生：抛物线在N点的切线斜率就是y=2x2在N点的导函数值，而y′=4x，xN=xA+xB2，所以需要直线与抛物线联立用韦达定理把xN用k表示即可。

师：很好！你能实现解题目标吗？

由上面的启发，学生很容易得到下面的解题途径。

二、 数学探究要有变式的探究过程

案例2 还以上题为例，在学生已经证明出抛物线在点N的切线与AB平行以后，我接着让学生思考下面的变式：

变式1：已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，O为坐标原点，那么△AOB面积有最小值吗？如果有那么最小值是什么？

分析：首先引领学生探究△AOB面积如何表示？

方法一：S△AOB=12ABd，其中d表示点O得到直线AB的距离

方法二：S△AOB=12OMxA-xB，其中M点为直线AB与y轴的交点M0，2，

显然方法二的表示更简单，

当且仅当k=0时取等号。

点评：通过这个变式让学生体验一个重要的数学思想——函数思想。

变式2：证明抛物线y=2x2在A，B两点的切线的交点M的横坐标xM是xA与xB的等差中项；即xM=xA+xB2。

证明：由上面的求解可知：在A，B处的切线AM，BM的方程分别为：

y-2x2A=4xA（x-xA）y-2x2B=4xB（x-xB）y=4xAx-2x2Ay=4xBx-2x2B，解之得：xM=xA+xB2，所以結论成立。

更进一步可得：yM=4x1·xA+xB2-2xAxB=2xAxB由（2）式知yM=-2。

变式3：由变式2可知抛物线y=2x2与过点0，2的直线交于A，B两点，则抛物线在A，B两点处的切线的交点恒在直线y=-2上，且xM=xA+xB2；对于一般的抛物线x2=2py与直线y=kx+m是否具有上述结论呢？即：xM=xA+xB2；yM=-m；

点评：变式3是对变式2一般性结果的探索；反之是否成立呢？

变式4：在直线y=-m上任取一点M作抛物线x2=2py的切线，切点分别为A，B，是否有xM=xA+xB2，且直线AB过定点0，m呢？

解：设：AxA，x2A2p，BxB，x2B2p，MxM，-m，由于y′=xp，所以抛物线在A，B两点的切线方程分别为y=xApx-x2A2py=xBpx-x2B2p，把MxM，-m代入上式得：

-m=xApxM-x2A2p-m=xBpxM-x2B2p

消去m得xM=xA+xB2，从而yM=xAp·xA+xB2-x2A2p=xA·xB2p=-m（3）

由条件可知直线AB斜率存在，方程设为y=kx+b，由y=kx+bx2=2py，消y得

x2-2pkx-2pb=0，∴xA·xB=-2pb代入（3）式得b=m

所以直线方程为y=kx+m恒过定点0，m。

三、 点评

新课程理念下要求教师必定要加强数学思维能力的培养和运用，注意带领学生会用数学眼光看世界，利用数学思维了解世界，利用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展与实践，探寻万物变化规律。

作者简介：

王义东，山东省济南市，山东省济南市历城区教育教学研究中心。