浅谈质数无限定理拓展以后

摘 要：欧几质数无限定理是说，若P是任意大的质数，总存在Q=2×3×5…P+1，也是大于P的质数，从而说明质数是无限的。该定理可以进一步拓展。

关键词：质数无限定理；拓展；推理

欧几质数无限定理是说，若P是任意大的质数，总存在Q=2×3×5…P+1，也是大于P的质数，从而说明质数是无限的。

上面的定理给我们的启示是：（1）可以用若干质数的积和正整数1的代数和来表示另外的质数；（2）证明一个数是质数的思路是，利用整除性定理，如果Q=a±b，且有d|b，那么d|Q的充要条件是d|a。（这里d、a、b、Q均为不等于1的正整数）。

另外，判断一个自然数N是否为质数，通常采用试除的办法，那么，是否需要把所有小于N的质数都去试一遍呢？当然不必要只需要试除到K≥N就可以了（K是质数）。这是因为：如果N是合数，总存在小于或者等于N的因数，使N=Kt试除，到K|N，推定N为合数；如果试除到K>N，仍然是K/|N，就可以推定N是质数了。我们可以这样去想，N=Kt=tK。已经试除到较大质数K>N了，较小的质数t必是早已试除过了。因此，判断一个自然数N是否为质数，没有必要把小于N的质数通通试上一遍，试除到K>N就可以了。

我们结合定理给我们带来的启示和以上推理，对该定理作进一步的拓展。

拓展一：

Q=2×3×5…P-1（P≥3）是质数

证：2|2×3×5…P 3|2×3×5…P 5|2×3×5…P …P|2×3×5…P

2/|1、3/|1、5/|1…P/|1

∴2/|Q、3/|Q、5/|Q…P/|Q

∴Q是质数

拓展二：

Q=2x×3×5…P±1（2x

证明同上理

拓展三：

Q=2x×3×5…Ki-1Ki+1…P±Ki是質数

（Ki-1，Ki，Ki+1表示相邻质数，且2x

拓展四：

Q=3×5×7…P±2xK是质数

（P、K是质数，2x

证明同上

拓展五：

Q=2x×3×5×7…iy…P±1是质数

（2x

证明同上

拓展六：

Q=2x…P…q±3×5…K是质数

（…P…q内不含有3、5、…K，K>Q）

K可变，必须保证

2x…P…q>3×5…K且2x…P…q…3×5-K≠1

证明同上

根据以上对欧几定理的拓展，我们回答下面的问题。

我们知道，任何大于4的偶数都可以分解质因数，如不去考虑质因数的顺序，分解质因数的结果是唯一的。

设任意大于4的偶数是M，其分解质因数的结果是M=2x…P…r…q（…P、q、r允许有相同的质因数）

ⅰ）当x=1时

M=2…P…r…q

=…P…r…q+2×3…K+…P…r…q-2×3…K

=e±f

（e、f为质数）

K可变，须保证…P…r…q-2×3…K≠±1

特别地，M=2P=P+P

ⅱ）当x>1时

M=2x…P…r…q

=2x-1…P…r…q+3×5…K+2x-1…P…r…q-3×5…K

=e±f

亦或

M=2x…P…r…q

=2x+1…P…r…q-2x…P…r…q

=2x+1…P…r…q-3×5…K+3×5…K-2x…P…r…q

=e±f

如果有 r=2y±1

M=2x…P…（2y±1）…q

=2x+y…P…q±2x…P…q

=2x+y…P…q-3×5…r…K+3×5…r…K±2x…P…q

=e±f

如果有 r=2y±t（t是质数）

M=2x…P…（2y±t）…q

=2x+y…P…q±2x…P…qt

若t是…P…q内的质数

M=2x+y…P…q±2x…P…qt

=2x+y…P…q-3×5…K±2x…P…qt+3×5…K

=e±f

若t不是…P…q内的质数，可改变K，使t/3×5…K

M=2x+y…P…q-3×5…K±2x…P…qt+3×5…K

=e±f

综上，任何大于4的偶数都能写成两质数的和或差。

因为任何大于4的偶数，都能写成两个偶数的和与差，且根据需要可以任意改变两个加数或被减数和减数的大小。

设A、B、C、D为4个偶数

M=A+B=（A-2K）+（B+2K）（K∈N）根据以上推理

=（e+r）+（f-r）=e+f

亦或M=C-D=（C+2K）-（D+2K）=（e+s）-（s-f）=e+f

通过对欧几定理的拓展和进行上述推理，可以证明，任何大于4的偶数都能写成两素数的和。这就证明哥猜是正确的。

作者简介：

赵锁堂，内蒙古自治区呼和浩特市，托克托县第二中学。