改进的考虑前车速度效应的交通流元胞自动机模型

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(湖南大学 土木工程学院， 湖南 长沙 410082)

0 引言

交通流理论研究的主要目的是研究交通现象的本质，以便人们采取措施来优化和控制真实的交通。司机的驾驶行为充满了随机性，这给交通实测和交通模型的建立带来难度。交通实测是交通流理论研究的基础。在过去几十年里，大量的交通实测在世界范围内广泛地获得。但是对于交通实测，不同的调查者有时得到不同的测量结果，甚至有些测量结果相互矛盾。这可能是由于调查者们不同的测量方法、测量地点、处理数据的方法等所导致。

一个典型的矛盾就是交通拥挤的结构特征，也就是基本图方法和三相交通流理论之间的争议[1]。基本图方法关注于密度与流量的关系曲线，这条曲线有一个最高点，并且交通拥挤状态下密度与流量之间是一一对应的关系。在三相交通流理论提出之前，几乎所有的交通模型都可以归于基本图方法的框架内，比如宏观连续模型和跟驰模型。三相交通流理论在二十世纪九十年代后期由Kerner提出[2-3]。三相交通流理论关注于同步流的存在。同步流的稳定状态在流量密度平面上呈现二维散布区域，交通拥挤状态下流量与密度之间的关系不再是一一对应。在基本图方法中，交通分为两种相：自由流和阻塞。在三相交通流理论中，交通被分为三种相：自由流、同步流和宽运动阻塞[4]。阻塞和宽运动阻塞没有本质区别。同步流和宽运动阻塞都属于交通拥挤状态，但是在同步流中，时间和空间上明显的停车区域不会存在，而且同步流的平均速度比自由流的平均速度低，同步流的密度比自由流的密度高。

三相交通流理论提出后，获得了大量支持者，相关的模型不断发表。这些支持者宣称，三相交通流理论可成功描述交通实测，尤其是基本图方法不能描述的一些交通现象，比如孤立的匝道瓶颈诱发的交通拥堵模式和自由流状态到交通拥挤状态的相变。这些支撑三相交通流理论的实测证据都是由Kerner和他的支持者所测量得到。但三相交通流理论的反对者批评说，二维散布区域不能看做是同步流独有的特征，并且同步流和宽运动阻塞之间的区别很模糊[5]。同时，支撑三相交通流理论的实测证据与反对者调查收集的交通实测有一定的差异。

这个争议至今没有结果，但是在争议结束之前，双方都可能有正确的部分。本文不去探讨哪一方完全正确而去寻找双方之间正确的部分。因为元胞自动机离散的本质非常适合交通流的研究，本文以元胞自动机为研究方法，组织如下：第一部分介绍新的交通流元胞自动机模型，第二部分详细介绍新模型的计算机模拟结果，第三部分给出结论。

1 新模型

1992年，Nagel 和Schreckenberg发表了一个用四条简单的规则来描述单车道高速公路交通的模型(即NS 模型)[6]。单车道高速公路被分成Lrond个格子或者元胞(cell)，每个元胞长度是7.5 m并且只能容纳1辆车，1个时间步对应着1 s，空间和时间是离散变量。NS模型是1个基础模型，只能模拟一些简单的交通现象，比如时走时停波。为了模拟复杂的交通现象，需要添加新的规则。新的模型规则如下：

a.Rule 1: 加速。

V(i,t+1)=min{V(i,t)+1,Vmax}

(1)

b. Rule 2: 减速。

(2)

c. Rule 3: 以概率p随机慢化。

V(i,t+1)=max{V(i,t+1)-1,0}

(3)

d. Rule 4: 位置移动。

X(i,t+1)=X(i,t)+V(i,t+1)

(4)

新模型的数值模拟在MATLAB环境下运行，传统的模拟条件一般采用周期边界条件，道路上的车辆密度首先被确定，模拟结束后获得流量值。新模型采用新的模拟边界条件，道路上的密度不再固定，车辆根据道路上的拥挤程度自我调节。模拟参数设置为Lroad=2000cells，Vmax=5 cells/s，p1=0.1，p2=0.5，d0=3,总时间步20000 s。新模型经过计算机模拟后，获得数据。

2 数值模拟结果

2.1 基本图

图1 VE模型和NS模型的基本图以及实测结果[7]Figure 1 Fundamental diagrams of the VE model, NS model and the measurement results[7]

图2 新模型的基本图Figure 2 Fundamental diagram of the new model

实际上，新模型的基本图由两部分数值模拟组成，左侧部分模拟的初始状态是道路上车辆低密度分布，右侧部分模拟的初始状态是道路上处于阻塞或者车辆高密度分布，两部分的交汇区域是ρ2和ρ3之间。比较代表自由流状态的区域，也就是0 和ρ1之间，可以说ρ1和ρ3之间是二维区域。这个区域也许暗示新模型可以归于三相交通流理论框架内。

2.2 二维散布区域

新模型的二维散布区域或者新模型的交通拥挤状态暂时称作“类同步流”。接下来研究新模型的时空演化过程。道路长度为2000 cells，道路的前1000 cells作为研究路段空间，黑色的点代表车辆。图3的时空图对应的是初始状态道路上车辆低密度分布的模拟。当车流密度ρ<ρ1时，交通处于自由流状态，见图3(a)。当车流密度ρ1<ρ<ρ2时，类同步流开始自发出现，此时自由流和类同步流共存于交通系统之中，见图3(b)。当车流密度ρ2<ρ<ρ3时，交通完全处于类同步流状态，可以看出类同步流状态可以稳定存在于交通系统中，见图3(c)。图4时空图对应的是初始状态道路上处于阻塞状态的模拟。模拟开始时，道路上充满大量车辆。当车流密度ρ>ρ2，阻塞状态和类同步流状态共存于交通系统中，见图4(a、b);当车流密度ρ2<ρ<ρ3时，与上一组模拟相同，类同步流稳定存在于交通系统中，见图4(c)。

图3 初始状态是道路上车辆低密度分布的模拟的时空图Figure 3 Time-space plots of the simulation starting from the low-density distribution of vehicles on the road

图4 初始状态是道路上处于阻塞状态的模拟的时空图Figure 4 Time-space plots of the simulation starting from a huge jam on the road

观察图3和图4展示的时空图，按照三相交通流理论中同步流对应的时空图描述，同步流时空图看起来很均匀,而且颜色比自由流状态的颜色深，这种识别方法有些主观，很难判断新模型拥挤状态对应的是同步流还是宽运动阻塞或者是它们的共存状态。除了时空图，还可以从微观角度来辨识同步流。辨识方法大体分两种：一种是Kerner提出的中断效应[8]，另一种是Neubert等人提出的相关函数分析[9]。首先应用第一种方法，中断效应是按照同步流的定义，如果拥挤状态的平均速度比自由流的小，密度比自由流的大，而且没有出现速度或者流量的中断，也就是没有出现明显的停车区域，那么拥挤状态对应的是同步流。图5展示了不同时间道路上车辆速度的分布，对应着图3时空图的不同时间。图5(a)的速度分布对应着自由流状态。图5(b)的速度分布对应着自由流向类同步流的相变过程。图5(c)的速度分布对应着类同步流状态。可以看出，类同步流中出现了明显的停车区域，一辆车或者几辆车的速度为0(即速度出现了中断)。新模型虽然有二维散布区域，但是从微观角度证明，这个二维散布区域不具有同步流的性质。此外，新模型的拥挤状态也不满足宽运动阻塞的定义。这里可以得到结论，流量密度平面上的数据点二维散布区域不是同步流独有的特征，其它拥挤状态也可以表现出有二维散布区域的特征。

图5 对应着图3中不同时间的车辆速度分布图Figure 5 Distribution plots of velocity of vehicles corresponding to different time in figure 3

接着使用第二种方法，第二种方法基于新模型数值模拟所得数据的时间序列分析。考虑到新模型采用了新的模拟条件，所以忽略研究局部基本图过程，而直接研究新模型中初始状态是道路上车辆低密度分布模拟的相关函数分析，包括自相关函数ax(τ)和互相关函数cx,y(τ)。它们的定义如下：

(5)

(6)

式中：x(t)和y(t)表示流量、密度或者平均速度的时间序列；τ表示延迟时间。

按照三相交通流理论，同步流的流量、密度和平均速度的时间序列全部呈现无规则抖动，三者的时间序列都不具有长程相关性。Neubert等人指出，在同步流状态下，随着延迟时间的增加，流量、密度和平均速度的时间序列自相关函数以及流量与密度的时间序列互相关函数全部趋向于0[9]。图6展示了新模型的相关函数分析，可以看出这些相关函数全部趋向于0。第一种方法证明新模型的二维散布区域不具有同步流性质，第二种方法证明新模型的二维散布区域具有同步流性质，对同步流的两种辨识方法出现了矛盾。

新模型的类同步流可以看做是自由流和阻塞的中间状态。在基本图方法中，这个中间状态被看做是临时状态，当系统稳定后，临时状态就会消失。在三相交通流理论中，这个中间状态被定义为同步流，同步流可以稳定存在于交通系统中，并且可以成为独立的交通相。从新模型的数值模拟结果可以看出，自由流和阻塞的中间状态确实可以稳定存在于交通系统中，并且可以成为独立的交通相。此外，在三相交通流理论中，对于一般的同步流辨识方法：时空图、中断效应、相关函数分析，这些方法不完全准确，对于同步流的定义和辨识方法还需要进一步完善。

图6 相关函数分析Figure 6 Correlation function analyses

2.3 空间间距与速度

最后研究新模型的车辆空间间距和速度之间关系。实际上，为了解决基本图方法和三相交通流理论之间的争议，最好的解决方法就是获得高精度交通实测。传统简易的测量手段被认为是低精度测量方法，比如感应线圈。如果大范围的行车轨迹线被飞行器实时拍摄或者道路上每辆车都安装一个实时测量装置，高精度测量数据就会获得，但是这些高精度测量方法显然非常昂贵。2013年，来自中国科学技术大学的课题组在合肥市郊区做了一个由25辆车参与的单车道车辆跟驰实验[10-11]。每辆车安装了高精度GPS装置，车辆的实时速度和位置会被记录。虽然25辆车不能完全模拟真实的单车道交通，但该实验反映了一个真实车辆跟驰行为的典型特征。这个特征是指，如果相邻两辆车的距离在一定范围内，前车的速度有波动时，后车不一定会有反应，后车司机还是按照自己的习惯继续行驶。也可以说，在一定距离范围内，车辆的速度波动非常小时，空间间距波动仍然可以非常大。图7展示了新模型中道路上车辆的空间间距分布，分别对应图5不同时间的速度分布。从图7(a)和图5(a)的比较可以看出，图5(a)中车辆的速度波动很小，但是相应的图7(a)中车辆的空间间距波动很大。可以得出结论，新模型同样表现出这个真实车辆跟驰行为的典型特征。此外，从图7(b)、(c)和图5(b)、(c)的比较可以看出，速度与空间间距有

图7 对应着图5中不同时间的车辆空间间距分布图Figure 7 Distribution plots of spacing of vehicles corresponding to different time in figure 5

正相关的关系，但不是一一对应的关系。

3 结论

本文介绍了一个新的交通流元胞自动机模型，不去探讨基本图方法和三相交通流理论哪一方完全正确，而是通过分析新模型的数值模拟结果去寻找双方之间正确的部分。本文主要结论如下：

a.观察新模型基本图中最高点的密度和流量值可以看出，新模型的基本图与实测结果非常近似，新模型在宏观上可以描述真实的单车道高速公路交通。

b.虽然新模型的流量密度平面上有一个数据点二维散布区域，但是从道路上车辆的速度分布图看出，这个二维散布区域不具有同步流性质，证明二维散布区域不是同步流的独有特征，其它交通拥挤状态也可以呈现出二维散布区域。此外，自由流状态和阻塞状态的中间态可以稳定存在于交通系统中，并且可以形成独立的交通相。对于证明同步流存在的方法：时空图、中断效应、相关函数分析，新模型使用这些方法时出现了矛盾，说明这些方法不完全准确。

c.从新模型的速度分布和空间间距分布对比可以看出，新模型可以表现出真实车辆跟驰行为的典型特征。