高中数学思维的个体特征与教师的教学策略

邵洁

[摘  要] 传统高中数学教学由于受评价机制影响，教师更多关注的是班级整体的状况. 经验表明，将目光锁定在学生个体身上，对某些具有特殊思维的学生进行研究并总结出思维特征，也可以让数学教学产生新的增长点. 教学实践中发现有些学生具有表象构建能力强、数学语言运用能力弱的特征，有的学生的思维具有“顿悟”的特征，针对这两类学生进行针对性的教学，可以让数学课堂产生更多元.

[关键词] 高中数学;学生个体;思维特征;教学策略

高中数学教学中，对学生思维的关注是数学有效教学的基础，由于班级授课制的特点，教师在课堂上更多关注的是学生思维的共同特征，并据此设计教学，相比较而言，对学生个体的思维特征的关注显得有些不足[1]. 当然，这是情有可原的，因为大班额背景下要对学生个体进行关注，尤其是对内隐在知识构建与问题解决背后的思维的关注，确实存在着较大的困难. 但从学生学习的角度来看，这种关注又是必要的，因为只有真正研究学生个体的思维，才能更准确地把握学生的思维特点，从而真正地实现因材施教. 那么，如何协调对思维共性与个性之间的矛盾呢？笔者以为可以在教学中选择部分具有样本意义的学生作为研究对象，这样容易在教学效果上起到以点带面的作用（这里不能不提及笔者对此问题进行研究的另一个初衷，那就是试图寻找到一批能够通过数学学习方法努力来明显提升数学学习成绩的学生，这样不仅有利于这部分学生，而且对其他学生也会起到促进作用），同时也可以让教师更好地把握学生在数学学习中的思维特点.

具有样本意义的学生个体选择

选择哪些学生作为数学教学研究的对象，这是一个值得思考的问题. 由于教学经验的积累，笔者在很早以前就开始关注这个问题，起初的思路是在学优生、中等生以及学困生中分别寻找数个学生作为研究的对象，后来发现这种基于成绩的判断有时候并不准确，因为成绩不同通常多是由数学知识基础决定的，而到了高中阶段，数学知识基础的弥补往往是需要时间与努力的[2]，其与数学思维的表现并不能完全画上等号，于是就开始寻找新的判断依据.

后来笔者发现，利用一些与前面知识关联不那么紧密的知识的教学，来判断学生在知识构建中的思维速度、准确程度，利用问题解决过程中学生对某些细节性问题的判断水平，可以较好地确定研究对象，从而发现部分基础薄弱但有潜力的学生.

比如说笔者在教圆锥曲线的时候，发现有几个平常不怎么积极的学生在自己小组内积极发言，有时候还在下面与其他同学讨论，就感觉到很好奇. 而在课堂上让他们回答在讨论什么的时候，他们又支支吾吾. 后来其中一个陈同学旁边坐着的比较优秀的一个同学说：“老师，你来听听，他的想法比较独特. ”于是笔者加入该小组的讨论，而那个陈同学在阐述时，笔者发现他在用大脑加工一个平面从不同角度截一个圆锥面时，说得十分清楚，组内同学也都能听懂，甚至一些平常不大开口的女生在听到他说不同的平面截锥面的情形时，都能抢着回答截后的结果是什么. 笔者当时非常惊讶，因为这是一种非常了不起的形象思維能力，同时笔者也注意到，这个同学在用数学语言表述思考结果时却出现了困难，别人一眼看出的椭圆、双曲线，或点、圆等，在他的嘴里却变得有些困难.

显然，这个同学的特点是可以下结论了：形象思维能力强，表象构建的能力强，但数学语言运用的能力不强，这导致了他在数学学习与测试过程中总是处于不理想的状态. 无独有偶的是，另外也有两个同学也属于这种类型，于是这样的学生就进入了笔者研究的视野，成为笔者进行数学思维研究的样本学生. 将他们作为样本，可以提高班级整体数学的基础水平.

此外，在数学问题解决过程中容易产生灵感的学生，也应当成为老师的研究对象，因为这类学生的思维往往具有发散性、跳跃性，其能够带动整个班级学生沿某个方向去思维，将他们作为样本来分析，可以触摸班级整体的最高水平.

学生个体数学学习的思维特征

那么，这些学生个体的思维通常具有什么样的特征呢？笔者对上面两类学生进行了分析，各有收获.

对于形象思维能力强而数学语言运用能力不强的学生，他们的思维优势往往体现在能够充分利用自身的经验与理解来加工数学学习对象上，思维劣势体现在用数学语言理解数学研究对象时的困难上，说到底就是形象思维与抽象思维的差异上. 从数学学科特点的角度来看，这类学生的形象思维特征表现为对“形”的加工上，他们大脑中容易形成表象，容易进行有效的加工，这可以使得他们在建立类似于平面从不同角度截锥面的空间表象时变得较为容易. 教学实践中还发现，他们有时候还会借助于实物来向他人表达自己的思考，如将一张纸卷成锥面，然后用直尺表示平面，然后去横截、竖截、斜截，又或者正好截在锥面的顶点，这样小组内的其他同学就更加容易听懂. 从学习心理的角度来看，这样的实物模拟其实就是一种简易的数学实验，是清晰的数学表象转换为具体的操作过程;而在他们用数学语言表达自己的思考的时候，他们表现出的思维特征的另一面，实际上就是由于数学概念的模糊性，使得他们无法用数学语言来内化自己的思考结果. 这也提醒我们，在高中数学教学中，数学概念的教学绝对不只是数学定义所用文字的堆砌，而是要引导学生学会基于数学语言去理解数学现象. 这一特征可以通过上例看出来.

对于数学问题解决中容易出现灵感的学生，笔者也进行了仔细分析，结果发现他们的灵感往往来自有效问题解决经验的积累，在经验积累的基础上经由直觉思维形成的灵感，这可以理解为一种“顿悟”. 这类学生与上一类学生不同，他们的表象构建能力与数学语言能力一般都比较强，但又不属于班上的那种顶尖的学生，这说明这类学生思维的稳定性不好，一般的问题解决中容易出现小的错误，但同时如果情境适当，他们的潜力有可能爆发出来. 因此，通过上述这种顿悟能力的培养，笔者发现他们其实有潜力成为顶尖学生. 这样的学生通常一个班都有这么四五个，将他们作为研究对象，可以为尖子生培养提供一定的思路.

比如说，有一次笔者给学生提了这样的一个问题：在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）. 在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD，设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹是什么曲线？

对于这个问题，好多学生都表现出茫然，因为这个题目具有一定的操作特征，因此需要调动思维去想象操作后的结果，这自然需要强大的想象表象的能力作为支撑，同时还需要结合圆锥曲线的相关知识去进行比较与判断，好多学生都卡在这两个环节上. 而在此过程中，笔者注意到有四个平常相对不怎么活跃的学生在下面跃跃欲试，当笔者与他们各自交流的时候，发现他们的直觉非常准确. 此过程中他们的判断思路具有高度相似性：纸片折叠后圆周上的M点与圆外的点F重合得到了CD，那必然存在PO-PF=PO-PM=OM这一关系，而OM又肯定是小于OF的，因为F在圆外. 这样，就可以猜想点P的轨迹应该是一个双曲线. 这几个学生在猜想的時候，既有一定的推理，同时推理又不是那么严谨，逻辑关系也体现得不清晰，但这并不影响他们通过良好的直觉做出判断，后来笔者让他们当着其他学生的面去表述，并在黑板上演算. 笔者还特地让四个学生一起到黑板上，看谁写得合理，结果他们自然去精心组织数学语言，写的结果也不错.

基于个体思维特征的教学策略

既然班上总存在这样的一些思维具有特殊性的学生，那老师在教学的时候自然不可忽视，而应当以对这部分学生的教学为契机，寻找更好的教学思路与方法，以撬动全体学生数学水平的提高. 本着这一思路，笔者总结了两点策略：

一是课堂上的分类指导策略. 这是因材施教理念的产物，教授一个班级，将这两类（通常在十个左右）的学生抓在手上，研究他们的思维特点，设计具有针对性的教学策略，让他们学有动力、学有所得. 这样可以让课堂教学上的方法更趋多元化，而事实也证明，由于分类指导策略的存在，他们的学习更容易产生皮格马利翁效应，他们对数学的兴趣会逐日增加，从而达到预期的教学效果.

二是课后跟进评价策略. 对于这样的两类学生，本着对他们思维特征的研究，提供不同类型的训练内容，并给予非判断性的或是激励性的评价，让他们产生内在的学习动力，这对于他们学习品质的提升，是非常有好处的.

总之，高中数学教学中，既需要关注全体，同时也需要对不同类型尤其是相对具有特殊思维性的学生予以重点关注，这样数学课堂会更精彩，数学学习水平也会得到整体提升.

参考文献：

[1]  邓友祥. 有效数学思考的内涵与特征及教学策略[J]. 数学通报，2013，52（2）：7-10.

[2]  王珏. 享受思维，学生喜欢数学的理由[J]. 上海教育科研，2013（1）：68-69.