张量广义特征值的新包含域
2019-03-12刘衍民
何 军, 刘衍民
(遵义师范学院 数学学院, 贵州 遵义 563006)
1 预备知识
张量特征值问题在优化、图像处理和高阶马尔科夫链等许多科学领域中都具有重要应用[1-12].张量广义特征值[13]是矩阵广义特征值的推广.
令A=(ai1i2im),ai1i2im∈C(复数集).下面给出与本文相关的几个定义.
定义1[1]设A∈C[m,n](m阶n维),若存在非零向量x∈Cn和数λ∈C使得
Axm-1=λx[m-1],
其中,n维向量Axm-1和x[m-1]定义如下:
则称λ为张量A的一个特征值,x为张量A的属于λ的特征向量.如果向量x是实向量,则称特征值λ为张量A的H-特征值,x为属于λ的H-特征向量.
一个m阶n维张量A的行列式det(A)可以看成齐次非线性方程组Axm-1=0的解[1].设A∈C[m,n],B∈C[m,n],α∈C,β∈C,如果
det(αA-βB)≠0,
则称{A,B}为一个正则张量对;如果
det(αA-βB)=0,
则称{A,B}为奇异的张量对.
定义2[13]设A∈C[m,n],B∈C[m,n],若存在非零向量x∈Cn和数α∈C,β∈C使得
βAxm-1=αBx[m-1],
则称(α,β)为正则张量对{A,B}的一个特征值,x为其对应的特征向量.
利用张量的无穷大范数,Ding等[13]给出了张量广义特征值的盖尔圆盘定理.
引理1[13]设{A,B}是一个正则张量对,(aii,bii)≠(0,0),i=1,2,,n,则
(1)
其中,λ(A,B)表示正则张量对{A,B}的谱,
Di(A,B):={(α,β):|βaii-αbii|≤
本文利用张量广义特征值的性质,给出了张量广义特征值的新包含域.同时把本文得到的新包含域通过理论推导以及数值例子与文献[13]中的结果(1)作比较,说明本文结果优于文献[13]中的结果(1).
2 主要结果
令
|βaijj-αbijj|,
可得张量广义特征值的新包含域(定理1).
定理1设{A,B}是一个正则张量对,(aii,bii)≠(0,0),i=1,2,,n,则
(2)
其中
Δi,j(A,B):={(α,β):(|βaii-αbii|-
|βaijj-αbijj|Rj(A,B)}.
证明设非零向量x∈Cn是正则张量对{A,B}的特征值(α,β)对应的特征向量,即
βAxm-1=αBx[m-1].
(3)
令|xp|≥|xq|≥max{|xi|:i∈N,i≠p,q},N={1,2,,n},由(3)式可得
在(4)式两边同时取绝对值有
|βapp-αbpp||xp|m-1≤
|xi2||xim|,
即
|βapp-αbpp||xp|m-1≤
|βapqq-αbpqq||xq|m-1.
(5)
情形1当xq=0时,由(5)式可得
此时显然有
(α,β)∈Δ(A,B).
情形2当xq≠0时,有
|βaqq-αbqq||xq|m-1≤
由(5)和(6)式可得
|βapqq-αbpqq|Rq(A,B).
证毕.
令N={1,2,,n},S是N的一个非空真子集,则可得张量广义特征值的另外一个新包含域.
定理2设{A,B}是一个正则张量对,(aii,bii)≠(0,0),i=1,2,,n,则
λ(A,B)∈ΔS(A,B)=
证明设非零向量x∈Cn是正则张量对{A,B}的特征值(α,β)对应的特征向量,即
βAxm-1=αBx[m-1],
(7)
令
下面分3种情形进行讨论.
情形1如果xpxq≠0,不失一般性,设
|xp|≥|xq|,
则有
|βapp-αbpp||xp|m-1≤
|βapqq-αbpqq||xq|m-1,
(8)
且有
|βaqq-αbqq||xq|m-1≤
由(8)和(9)式可得
|βapqq-αbpqq|Rq(A,B),
即有
(α,β)∈ΔS(A,B).
情形2如果xpxq=0,不失一般性,设
|xp|≥|xq|=0,
由(8)式可得
即有
(α,β)∈ΔS(A,B).
证毕.
定理3设{A,B}是一个正则张量对,(aii,bii)≠(0,0),i=1,2,,n,n≥2,则
ΔS(A,B)⊆Δ(A,B)⊆D(A,B).
证明显然可得
ΔS(A,B)⊆Δ(A,B).
下面证明
Δ(A,B)⊆D(A,B).
由定理1有,存在i≠j,使得
(α,β)∈Δi,j(A,B),
即
|βaijj-αbijj|Rj(A,B).
情形1若
|βaijj-αbijj|Rj(A,B)=0,
则有
βajj-αbjj=0,
或者
即有
(α,β)∈D(A,B).
情形2若
|βaijj-αbijj|Rj(A,B)≠0,
则有
即
或者
也即
(α,β)∈Di(A,B),
或者
(α,β)∈Dj(A,B),
即有
(α,β)∈D(A,B).
证毕.
3 数值例子
下面用数值例子来说明结果的有效性.
设A∈R[3,2],B∈R[3,2]且
a111=1,a121=2,a211=3,
a221=4,a112=5,a122=6,
a212=7,a222=0,
b111=1,b222=2,
那么张量B是非奇异的,即正则张量对{A,B}的特征值(α,β)中的β≠0,令λ=α/β,由Matlab的工具箱TenEig[14]可得正则张量对{A,B}的谱
λ(A,B)={-3.660 6+2.032 9i,
-0.488 4+0.000 0i,9.809 6+0.000 0i,
9.809 6-0.000 0i}.
由图1可以看出,定理1的结果比引理1[13]的结果好.
图 1 D(A,B)(实线)对比Δ(A,B)(虚线)(λ=α/β)