离散时间非线性马尔可夫跳变系统的H∞滤波

庄继晶

(山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛 266590)

0 引言

近年来，关于H∞滤波问题的研究越来越受到重视.H∞滤波将鲁棒控制设计中性能指标的H∞范数引入到滤波系统中，以解决系统存在的各种不确定性问题.它将噪声看作是能量有限的随机信号，使系统的干扰到估计误差的闭环传递函数的H∞范数小于一个给定的常量γ2.相较于卡尔曼滤波，H∞滤波具有良好的鲁棒性，其性能也明显优于卡尔曼滤波.随着研究的深入，已经有许多关于H∞滤波的研究成果，例如通过采用线性矩阵不等式(LMI)技术和Lyapunov函数方法为包括线性和非线性系统[1,2]，马尔可夫跳系统[3,4]，带时滞的系统[5,6]，无偏估计系统[7,8]，有限时间系统[9,10]在内的连续或离散时间系统[11,12]等等提供了许多重要的研究结果.其中，[8]中的马尔可夫跳系统是由具有有限模态集转换的子系统组成，并且可以在不同时间从一个模式切换到另一个模式.值得注意的是，在许多实际应用中，离散时间马尔可夫跳跃系统可能比其连续时间系统更为贴近实际结果.而且实际系统总是存在不同程度的非线性，大多数无法仅用线性微分方程的形式描述，例如卫星导航系统、飞机的飞行状态等必须用非线性数学模型来更好的模拟实际情况.根据我们所知，离散时间带马尔可夫跳的非线性系统的H∞滤波问题研究甚少，因此我们可以开展这项工作.

1 预备知识

考虑以下的离散时间非线性马尔可夫跳变系统

x(l+1)=A(rl)x(l)+B(rl)ω(l)+g(x(l)),

(1a)

y(l)=C(rl)x(l)+D(rl)ω(l),

(1b)

z(l)=E(rl)x(l)+F(rl)ω(l),

(1c)

则上述非线性马尔可夫跳系统(1a)-(1b)可表示为

x(l+1)=Asx(l)+Bsω(l)+g(x(l)),

(2a)

y(l)=Csx(l)+Dsω(l),

(2b)

z(l)=Esx(l)+Fsω(l),

(2c)

这里x(l)∈Rh,y(l)∈Rq,z(l)∈Rl,ω(l)∈Rp分别代表状态矢量、量测输出、噪声输入和待估计信号.As,Bs,Cs,Ds,Es,Fs均为具有适当维数的已知矩阵，g(x(l))为一个非线性函数且满足以下约束

(3)

其中ρ为已知权矩阵且ρTρ是非奇异的.

下面我们设计如下形式的滤波器

(4a)

(4b)

(5a)

(5b)

(6a)

(6b)

下面给出一些后文中要用到的定理和引理.

定义1 考虑增广系统(6a)-(6b)，令Je:=l2([0,∞),Rp)→l2([0,∞),Rl)满足

定义Je的H∞范数为

(7)

定义2 考虑增广系统(6a)-(6b)，若存在滤波器(4a)-(4b)满足：

(i)对∀l≥0，当ω(l)=0时，增广系统(6a)-(6b)是均方渐进稳定的；

(ii)对给定的干扰抑制水平γ>0,∀ω(l)∈l2([0,∞),Rp),ω(l)≠0有以下约束成立

(8)

则称增广系统(6a)-(6b)的鲁棒H∞滤波问题是可解的.

引理2[13]设A，D，E，F为具有适当维数的实矩阵，P>0且F满足FTF≤I.若存在标量ε>0满足εI-ETPE>0，那么有

(A+DFE)TP(A+DFE)≤ATPA+ATPET(εI-ETPE)-1EPA+εDTD.

(9)

2 主要结果

在本节中，我们将给出离散时间非线性马尔可夫跳变系统(1a)-(1c)的鲁棒H∞滤波判定标准，并应用LMI方法来确保增广系统(6a)-(6b)是均方渐进稳定的且满足(8)式.下面给出(6a)-(6b)滤波分析的一些充分条件.

定理1 对给定的标量γ>0,ε>0，若存在正定矩阵Ps>0，使得对∀s∈Π,∀l≥0，以下不等式成立

(10)

证定义增广系统(6a)-(6b)的Lyapunov-Krasovskii函数为

直接计算可得

运用引理2

E{V(l+1)}-V(l)≤ηT(l)Ξ0(l)η(l),

(11)

现在定义

(12)

则由系统稳定性及(10)式，对任意非零ω(l)∈l2([0,∞),Rp)，我们有

(13)

定理2 对给定的标量γ>0,ε>0，若存在正定矩阵Ps>0，非奇异矩阵Yis,Uis,Vis(i=1,2)使得对∀s∈Π,∀l≥0，以下约束成立

CsXs=Y1sCs,

(14a)

DsXs=Y2sDs,

(14b)

(14c)

X=diag{X1,X2,…,Xv},

ωX=diag{ω1,ω2,…,ωv},

证明首先定义

则(10)式等价于以下不等式

(15)

由引理1，(15)式等价于以下不等式

(16)

由于ρTρ为非奇异矩阵，再次运用引理1并将Afs,Bfs,Efs,Ffs代入(16)式可得

(17)

其中

Λs=As-HCs,ζs=Bs-HDs.

对(17)式左右两边分别乘以块对角矩阵

则(17)式变为

(18)

令

由(14a)-(14b)可知

X=P-1=diag{X1,X2,…,Xv},

则本定理得证.证毕.

3 数值例子

考虑离散时间非线性马尔可夫跳系统(1a)-(1c)的两个模态，给出了它们的系数矩阵

模态1：

模态2：

4 结论

本文主要研究了具有马尔可夫跳变参数和范数有界非线性函数项的离散时间系统的鲁棒H∞滤波问题.基于线性矩阵不等式(LMI)方法得到了滤波问题可解的充分条件和滤波器增益的设计方法,使得所得到的滤波误差增广系统是均方渐进稳定的并且其H∞范数小于一个给定的干扰抑制水平γ2.最后给出了一个数值例子来说明所得结果的有效性.