数学模型在中学几何光学教学中的应用——以“探究光的反射定律”为例

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东 广州 510000)

1 问题的提出

“光的反射定律”是中学几何光学中的重点内容，笔者在多年的教学实践中发现学生在本节的学习常出现下列问题：(1) 误把入射角的余角、反射角的余角当作入射角和反射角；(2) 对于探究“两线分居”和“三线共面”的目的不明了；(3) 认为反射规律较为冗长复杂，难以全部掌握。

对学生学习过程中出现的问题进行溯源，本节在教学中常出现的误区有：(1) 未能建立以光线模型为核心的几何光学的研究思路；(2) 直接告诉学生入射角和反射角的概念，未能体现入射角和反射角概念建立的合理性；(3) 用验证型实验代替科学探究，未能发挥探究性教学的教育价值；(4) 忽视对模型法教育价值的挖掘。本文运用轴对称数学模型，针对以上教学问题，提出了切实可行的教学方案，体现了物理科学方法的教育价值。

2 基于数学模型的探究性教学设计

2.1 数学模型

模型指的是模拟原型的形式，而这里的原型一般需经过抽象处理，使其具备所研究系统的结构形态或运动形态。数学模型则是用数学语言描述的一类模型，数学模型方法是指舍去研究对象(原型)的一些非本质的联系和次要的细节，用数学语言进行抽象、描述，用更简化和理想化的形式去反映原型的本质特点与规律。数学模型法包括两个方面：一是对原形的数学抽象，二是具体研究数学模型，得出原型的本质规律。例如为了研究平抛物体的运动轨迹特点，我们可以建立抛物线的模型；研究同种电荷中电场最强的位置，我们会用到函数模型，将物理问题转化为函数极值问题；几何光学中用到的光线模型实际上就是一个射线模型。本节我们探究光的反射定律，可以对光的反射现象进行抽象，建立基于两线一面的轴对称模型。

2.2 基于轴对称模型的概念引入

本节课的课题引入方式有多种方案，可以用激光笔演示光的反射现象，也可以通过视频或者图片等素材来展示光的反射情境，目的都是提供情景，确定研究对象，进而建立模型：两条光线和一个反射面。

模型建立之后，教师就可以引导学生猜想两条光线的位置分布关系。由于学生在中学几何中已学过轴对称的概念，所以学生多数会猜测模型中两条光线的轴对称关系。既然有了“轴对称”这个关键词，即可自然地从“对称轴”的概念出发提出“法线”的概念，进而建立入射角和反射角的概念。如图1所示，画出对称轴这一辅助线，并称之为法线，比交代法线为反射面的垂线更能体现法线的本质。此处，法线概念的建立为入射角和反射角概念的建立起了很好的铺垫作用，有利于在源头上消除学生对入射角和反射角的误解：认为入射角的余角、反射角的余角为入射角和反射角。在后文中，大家还会看到如果把入射角的余角、反射角的余角当作入射角和反射角，将不利于反射定律的探究，进一步体现了入射角和反射角概念建立的合理性。

图1

2.3 基于轴对称模型的探究设计

光的反射定律本质是反射光线与入射光线关于法线的轴对称关系，围绕反射光与入射光关于法线的轴对称关系而展开的科学探究，是本节教学设计的核心。

根据对中学生的学情分析，教师可预见为了探究两条光线的轴对称关系，学生一开始只会想到去探究反射角和入射角的大小关系。从认知规律的角度来看，这个时候不宜纠正学生思路，因为科学发现的本身就是不断试误的过程。根据教学条件，可采用学生分组实验或演示实验，探究两角关系，要求学生做好观察与记录。

可以预计绝大多数同学可以顺利完成此步探究，得出两角相等的实验结论。此时，教师可提问：是不是有了两角相等就可以证明反射光线和入射光线关于法线对称？

在学生充分思考之后，教师可进一步引导：在立体空间里，可能出现r=i,但是反射光线和入射光线并不关于法线ON成轴对称。从而让学生明白，要证明两条光线关于法线的轴对称关系，就必须证明入射光线、反射光线和法线是在同一平面内，具体实验操作可参照教材进行(如图2)，此处探究实验的一个关键点是让学生体验纸板在本实验中所起的作用。

图2

学生经历了实验的过程，有了切身的体验，对于三线共面就会理解得更深刻。而此时，我们可继续向学生提问：同时有两角相等和三线共面是不是就可以证明反射光线和入射光线关于法线的轴对称关系？

此时教师可提出：如图3所示，AO和OB重合但反向，∠BON=∠AON，且OB、OA和ON也在同一平面，但是显然此时的构图中OA和OB并不关于ON成轴对称。

图3

从而让学生知道要证明反射光线和入射光线关于法线成轴对称，还必须先证明入射光线和反射光线分居在法线两侧。此处的实验操作其实是对图1实验的重复，多次改变入射光线，观察入射光线和反射光线的分布情况，学生很快就可得出两线分居在法线两侧的结论。

对于本实验的结论，教材上是从三线共面、两角相等、两线分居在法线两侧三个方面展开叙述的，体现了结论与实验过程的统一性。学生在实验探究的基础上，就很容易理解光的反射定律的内涵。我们还可以进一步将光的反射定律提炼为反射光线与入射光线关于法线成轴对称，这样的表达更简洁，也抓住了反射规律的本质。

3 评估

在本教学设计中，两线一面的轴对称模型发挥了至关重要的核心作用。首先是它体现了法线、入射角和反射角概念生成的合理性。另外，轴对称作为关键词，是贯穿整个科学探究的一条主线。基于对反射光线与入射光线是否关于法线成轴对称的关系这一问题，科学探究的过程得以循序渐进式展开，依次为探究两角相等、三线共面和两线分居在法线两侧。最后又统一成一个整体，体现了科学探究的严密性与逻辑性，对于学生来说是很好的科学方法教育。

总的来说，基于模型法的教学设计降低了本节的教学难度，有利于突破重难点。在引导学生思考如何对光的反射定律

进行科学探究的过程中，模型法也发挥了至关重要的作用，有利于培养学生的物理学科核心素养。基于数学模型对光的反射定律的归纳与提炼，彰显了物理规律的简洁美，有利于学生掌握光的反射定律的本质。在几何光学的教学中，重要的一步就是在光线模型的基础上建立光路模型，从几何的角度研究光的反射规律。在本节案例中，我们重视对学生进行模型法的教育，有利于学生举一反三，系统掌握几何光学的研究方法。

在本节的教学设计中，还体现了模型法特有的教育价值：模型法的核心是去繁存简却又抓住研究对象的本质，并且将抽象的问题具体化。将光的反射现象抽象为两线一面的轴对称模型，进而将对物理问题的研究转化为对数学模型的研究，体现了模型法不同于其他物理方法的独特性，展示了研究物理问题的一种重要方法与思路。基于对数学模型的研究，使得物理问题得以解决，既体现了数学与物理的紧密关系，又反映了数学作为研究物理问题的工具，有着重要的作用。