基于自助扩充法的数控机床可靠性建模研究

聂 萌 张海波

(东北电力大学机械工程学院，吉林吉林132012)

数控机床可靠性建模是对机床可靠性评估的前提。在制造业水平不断提高的现状下，机床的可靠性也大大提高，想获得大量的故障数据实属不易，导致大部分的机床故障数据属于小样本数据，而在小样本数据下运用经典统计学法，结果会出现较大的偏差。本文采用改进的自助扩充法弥补数据不足的缺陷，进而提高了建模的精确性，对可靠性建模具有一定的实践意义。

当前，数据建模的方法有很多。申桂香等[1]针对小样本类型的故障数据，先计算出威布尔分布模型，再采用参数偏差修正法修正威布尔分布模型，虽然修正后的威布尔模型更接近经验分布函数，但在故障数据小于3时无法修正。Anderson-Cook[2]等提出了将系统数据、零件数据和子系统数据与专家判断结合的贝叶斯方法，并应用于战略导弹系统的可靠性建模中。任丽娜等[3]基于模型参数、蒙特卡洛仿真误差、BGR诊断原理及DIC信息准则和可靠性指标后验估计的区间长度，提出了数控机床贝叶斯可靠性模型的综合评价方法，为贝叶斯不完全维修模型的模型选择提供了参考依据。钱浩[4]提出了将Bootstrap与Bayes计算方法相结合并运用改进的Bootstrap-Bayes计算方法，通过对比分析验证了基于Bootstrap-Bayes可靠性建模方法的可行性，并运用Visual Basic6.0软件进行数控机床的可靠性评估，使其过程更加精准快捷且更利于数据的对比分析。孙慧玲等[5]针对 Bayes Bootstrap方法进行了改进，其原理是在不改变原样本数据的基础上将样本数据进行了自助扩充，再利用Bayes Bootstrap方法对扩充数据进行参数估计，但此方法只对参数μ的区间估计进行了计算，并未对参数σ进行考量。本文应用改进的自助扩充法增加每组故障数据的扩充数量，运用经典统计学法进行建模，最后结合具体的实例数据加以分析说明。该方法对于数控机床的小样本可靠性建模具有一定的工程应用意义。

1 经典算法的可靠性模型

(1)数控机床可靠性数据的收集

先将收集到的故障数据进行分类处理，计入符合的数据，再将数据排列与分组。具体步骤不做详细介绍。

(2)建立威布尔分布模型

指数分布虽然计算简单便捷，但在早期故障期间失效率不是恒常数会影响建模的精确性；正态分布通常适用于金属材料的疲劳分析模型；威布尔分布的适用性很广，不但适用于各种形状的参数，而且可以表达多种可靠性的指标。所以本文在用经典统计学建模时采用威布尔分布。

两参数威布尔分布的失效分布密度为:

两参数威布尔分布失效分布函数为:

两参数威布尔分布可靠度函数为:

两参数威布尔分布失效率函数为:

其中:t为时间；α为尺度参数；β为形状参数。

(3)运用软件进行可靠性指标评价

通过运用Matlab软件编程计算平均故障间隔时间(MTBF)、尺度参数(α)、形状参数(β)。

2 自助扩充法

自助扩充法其中心思想是在不改变原样本数据的基础上扩充样本数据。自助扩充法来源于改进的Bayes Bootstrap方法。改进的Bayes Bootstrap方法通常分为两种，第一种是对经验函数提出改进意见，重新构造更为合理的经验分布函数[6]；第二种是对小样本的Bootstrap抽样方法进行改进，目的在于调整抽样方法，增大样本容量[7]。本文对Bootstrap抽样方法方法提出了改进意见，新方法是在Bootstrap抽样方法的基础上增加抽样数量。孙慧玲曾提出改进的Bootstrap抽样方法是在每组故障样本数据的基础上扩充两个样本数据，并对小样本的可靠性参数进行区间估计，但其方法在计算故障间隔时间中效果不显著。所以本文将每组样本数量n扩充为2n-1个应用于计算故障间隔时间，并通过实例分析证明该方法的正确性。

2.1 Bootstrap法的基本思想

(1)样本数据 X＝ (x1，…，xn)，xi～ F ( x)，i＝ 1，2，…，n。样本数据组成的经验分布函数如下:

其中:x1，…，xn是从小到大的顺序统计量。

(2)从Fn中抽取N组样本。方法如下:

①计算机在区间0～M中生成随机数η；

②令 i＝η%n；

③在观测值中找到对应下标为i的样本xi作为再生样本x∗，则x∗为所需的随机样本。则自助样本为其中 j＝1，…，n。

(3)计算:

(4)在给定Fn的条件下，利用Rn的分布近似Tn的分布，可得到N个θ(F)，那么未知参数的θ的分布、特征值就可用相应的统计方法求出[5]。

2.2 改进的Bootstrap抽样方法

假设x1，x2，…，xn属于机床简单随机故障样本数据，将 n个故障样本数据分成 K组，组距 m＝1+3.322log n。进而确定数控机床故障样本数据的分组为:

θ1＝ (x1，…，xm)， θ2＝ (xm+1，…，x2m)， …， θm＝(xn-m+1，…，xn)，把分组数据进行扩充。步骤如下:

(1)首先将 θ1＝ ( x1，…，xm)中的数据从小到大排列即 θ1＝ ( x1，…，xm)。 对观测值xi进行数据扩充得到如下邻域:

其中 i＝2，…，n-1，q≥2。

(2)在邻域Π1中取x0，同理在其他邻域内也能取到一个扩充数据，所以每组数据可以扩充m-1个数据。

(3)重复上述两个步骤计算每个分组。

(4)将K组扩充后的数据与原样本数据合并作为再生样本。运用经典统计学法对再生样本求解各参数。

3 实例验证

对7台某型号的数控机床进行为期半年的观测，共得到61个故障数据。7台数控机床的编号分别为Y1，Y2，…，Y7，如表1所示。将7组数据混合从小到大排列用经典统计学方法计算MTBF和α与β，并以此为基准，再用自助扩充法和直接用经典统计学方法计算7组数据与基准比对，从而证明自助扩充法在工程应用上的可行性与精准性。

表1 数控机床故障数据

以61个数据为大样本数据，利用经典统计学法建立两参数威布尔分布模型，得到分布模型参数如下:α＝1 204.5，β＝1.245 8，MTBF∗＝1 122.7 h。 再用自助扩充法分别建立Y1，Y2，…，Y7七组数据的威布尔分布模型。以Y1为例，采用自助扩充法计算各参数值，首先用自助扩充法扩充Y1机床的样本数据，得到新生成的故障数据即 Z1＝(12.83，63.5，186.67，189.5，215.5，302，537.5， 639.5， 839.25， 908.167， 945.5， 1 264.25， 2 332.5，2 246.17，2 490.67，2 591.5，2 894)。 再采用经典统计算法对故障数据Z1进行计算得到MTBF＝1 323.9 h，α＝1 135.7，β＝0.770 1，因此可得到机床 Y1的可靠度函数为:

失效率函数为:

根据公式(8)和(9)绘制可靠度函数和失效率函数拟合曲线，如图1和图2所示。

以计算机床Y1故障数据的方法为例，用改进的Bootstrap抽样方法和经典统计学法依次计算Y2～Y7的故障数据，其参数估计值见表2所示。

表2 两种方法的可靠性模型参数

将表2中的参数代入公式(10)中，计算相应的MTBF，以MTBF∗＝1 122.70 h为基准，计算 ΔMTBF结果见表3所示。基准、自助扩充法、经典建模法的MTBF曲线图见图3。

表3 MTBF的相对误差

从表3和图3中可以看出，采用改进的Bootstrap抽样方法计算结果的相对误差明显小于直接用经典统计学法的相对误差，其中相对误差最大减小了15.78%，由此证明了改进的自助扩充法建立的可靠性模型误差较小，能得到较准确的可靠性模型，且验证了改进的Bootstrap抽样方法的可行性，并具有一定的工程应用意义。

4 结语

(1)如今数控机床故障数据多数属于小样本数据，而本文提出的自助扩充法，是在不改变原本小样本数据的情况下将故障数据扩充成大样本数据，进而运用经典统计学法进行计算，这样不但简化了小样本应用Bayes法建模的复杂性，而且提高了计算结果的精确性。

(2)本文以实际监测机床的故障数据为研究对象，分别采用改进的Bootstrap抽样方法和直接用经典统计学法进行计算并对比分析，结果表明采用改进的Bootstrap抽样方法计算结果的相对误差明显小于直接用经典统计学法的相对误差，相对误差最大减小了15.78%，为小样本故障数据在可靠性工程建模中提供了一定的指导意义。

.知识窗.

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