也谈对2017年全国卷Ⅲ第12题的赏析与拓展

董安林

(甘肃省金昌市第一中学 737100)

文【1】从坐标法、基向量法、数形结合法三个视角，使用四种方法对2017年全国卷Ⅲ第12题进行了解析.笔者对此题的解析也略有心得，特撰此文，与各位同仁共赏.

于是，有如下结论成立：

(1)当P∈直线AB时，λ+μ=1；

证明(1)当P∈直线AB时，A,B,P三点共线，由三点共线性质可知λ+μ=1，结论(1)得证.

①当P∈Ⅱ区且在AB与l之间时，如图2所示.

②当P∈Ⅱ区且与AB在l的异侧时，如图3所示.

下面应用以上定理逐一解决文【1】中的所有问题.

变式1 求λ+μ的最小值.

解析如图5，当点P与M重合时，P距离直线BD最近，此时P∈BD，λ+μ=1，问题得解.

变式2 求λ+2μ的最大值.

过A作AE⊥BG=E，记AE=h，过C作CF⊥BG=F且交圆C于点P(较远的交点)，此时P距BG最远，λ+2μ取得最大值.