迭代与迭代函数

张胜黎

(浙江省杭州市艮山中学 310003)

一、迭代函数的定义

迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代，每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果将作为下一次迭代的初始值.

对于函数f(x)，令f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，…,fn(x)=f(fn-1(x))，其中n≥2,n∈N*，我们将fn(x)称为函数f(x)的n次迭代．

迭代函数在高中数学中出现的频率很高，难度较大，本文将这类问题收集整理，以飨读者.

二、函数的二次迭代

例1 已知函数f(x)=asinx+bcosx(a,b∈Z),且满足{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0},则a的最大值为( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

评注在这里，由f(0)=0得到b=0，简化了表达式.

A．0

解由已知，f(0)=0，于是a=0，f(x)=bx2+cx.

当c=0时，{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}={0}，满足题意；

当c≠0时，f(f(x))=f(x)(bf(x)+c)=0等价于f(x)=0或bf(x)+c=0，只需方程bf(x)+c=b2x2+bcx+c=0无解，即Δ=b2c2-4b2c<0，因为b≠0，于是0

综上所述，0≤c<4.选C.

例3 巳知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).设集合A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=f(x)},C={x|f(f(x))=0}.

(1)当a=2,A={2}时，求集合B；

解(1)由a=2,A={2}，得方程f(x)=x有且只有一根2，即f(x)-x=2(x-2)2,于是b=-7,c=8.

又方程f(f(x))=0等价于f(x)=x1或f(x)=x2.

由于x1≠x2，可知方程f(x)=x1与f(x)=x2不会有相同的实根,从而方程f(f(x))=0有4个不相等的实根, 即集合C中的元素有4个．

三、函数的n次迭代

例4 已知f(x)是一次函数，令f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))，其中n≥2,n∈N*，若f2018(x)=22018x+3(22018-1)，求f(x).

解令f(x)=ax+b(a≠0)，则f2(x)=f(ax+b)=a2x+(a+1)b，f3(x)=f(a2x+(a+1)b)=a3x+(a2+a+1)b，一般地，fn(x)=anx+(an-1+…+a+1)b，比较系数可知，a=2，b=3，即f(x)=2x+3.

例5 已知f(x)=x2-2x+c,f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n≥2,n∈N*)，若函数y=fn(x)-x不存在零点，则实数c的取值范围是( ).

于是f(f(x))>f(x)>x也成立，重复上述过程，可知fn(x)>x也成立.选C.

例6 (2012年北大保送生考试题)已知f(x)是二次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))构成正项等比数列，求证：f(a)=a.

证明设f(a)=qa(q>0)，则f(f(a))=f(qa)=q2a，f(f(f(a)))=f(q2a)=q3a.

②-①得ma2(q2-1)+na(q-1)=a(q2-q)，

即(q-1)[ma2(q+1)+na]=qa(q-1).…④

③-②，约去q后得(q-1)[ma2(q+1)q+na]=qa(q-1).…⑤

假设q≠1，那么由④、⑤约去q-1后相减得

ma2(q+1)(q-1)=0，得q+1=0，这与q>0矛盾.

综上，q=1，即f(a)=a.

变式：已知f(x)是二次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))构成等差数列，求证：f(a)=a.

证明设f(a)=a+d，则f(f(a))=f(a+d)=a+2d，f(f(f(a)))=f(a+2d)=a+3d.

②-①得d[m(2a+d)+n]=d,…④，

③-②，同理得d[m(2a+3d)+n]=d,…⑤

假设d≠0，那么由④、⑤约去d后相减得

md=0，这与m≠0,d≠0矛盾.

综上，d=0，即f(a)=a.

推广1 已知f(x)是三次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))，f(f(f(f(a))))成正项等比数列，则f(a)=a.

推广2 已知f(x)是一元n(n∈N*)次多项式函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))),…,f(f(f…(f(a))))(共n+1个f)构成正项等比数列，则f(a)=a.

评注通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合，会聚到的这个点叫做吸引不动点.

四、函数迭代在递推数列中的应用

递推数列an+1=f(an)，在本质上就是函数迭代问题．我们记方程f(x)=x的解x0为函数f(x)的不动点.

例7 已知数列{an}中a1=1，an+1=2an+3，求an.

解记f(x)=2x+3，则an+1=f(an).

解方程f(x)=x，得x0=-3为函数f(x)的不动点.

由an+1=2an+3，可得an+1+3=2(an+3)，所以数列{an+3}为等比数列，首项为a1+3=4，公比为2，所以an+3=(a1+3)·2n-1，所以an=2n+1-3.

解方程f(x)=x，得x0=1为函数f(x)的不动点.

解方程f(x)=x，得x1=0,x2=-1为函数f(x)的不动点.

递推数列的收敛点就是函数的不动点，函数迭代的重复反馈过程的活动，它的目的常常是为了逼近所需的目标或结果，这是工程物理中经常见到的.