基于等效磁势法的直线电动机磁场及推力分析

李 争，史雁鹏，王蕾永，薛增涛，王群京

(1.河北科技大学，石家庄 050018；2.安徽大学,合肥 230601)

0 引 言

直线电动机自从被提出以来受到广泛关注，它是一种将电能直接转换成直线运动机械能而不需任何中间转换机构的传动装置[1]，相比于将旋转运动转换为直线运动的设备而言，它具有先天的优势，欧美等发达国家率先开始对直线电动机展开研究，我国对于直线电动机的研究虽然起步较晚，但是有很多国外的成功经验可以借鉴，因此最近几年我国对于直线电动机的研究发展速度很快。永磁电机具有结构简单、推力密度大[2]、能源效率高等诸多优点，因此大部分电动设备制造商都采用永磁电机作为动力来源。永磁同步直线电动机结合了永磁电动机和直线电动机的优点[3]，现在正受到越来越多的重视。

相较于一般的有铁心直线电动机，无铁心直线电动机不存在齿槽效应，因此推力波动小得多。由于动子中没有铁心，使得动子质量较轻，因此动态加速性能很好。在利用有限元法分析直线电动机时，虽然结果准确，但计算速度较慢；解析法不仅速度快，而且可以直观地得到电机重要部分尺寸与推力及磁场的关系，有助于对电机的结构进行优化。电磁场计算最常用的两种方法是等效磁势法和等效磁化强度法[3-4]，文献[5]利用等效磁化电流法计算了无铁心永磁直线电动机的磁场和推力，文献[6]利用等效磁化电流法对有铁心永磁直线电动机的磁场和推力进行了计算，文献[7]提出了一种适用于直线电动机的永磁磁极等效方法即等效磁势法。本文基于等效磁势法对无铁心永磁同步直线电动机的气隙磁场和推力进行了分析，通过与有限元法计算结果对比，证明了其准确性。

1 直线电动机结构

双边无铁心永磁同步直线电动机结构如图1所示。

图1 无铁心永磁同步直线电动机结构图

无铁心永磁同步直线电动机由定子和动子组成，定子部分由永磁体和背铁构成[3]，永磁体极性分布情况如图1所示，由于上下侧永磁体磁性相反，存在较大的法向吸力，所以永磁体需要通过强力胶固定在背铁上，而且为了避免发生形变，定子长度不宜过长。动子内的三相绕组中没有铁心，利用环氧树脂进行封装固定，绕组内通入随时间按正弦规律变化的交流电后产生行波磁场，与永磁体产生的静磁场相互作用推动动子运动。由于动子是无铁心结构，因此不存在齿槽力，端部效应也小得多，使得直线电动机不存在定位力，运行更平稳，电机绕组采用5极/3线圈结构，线圈之间排列紧密，能够有效缩短动子长度，提高动子效率。

2 气隙磁场分析

准确分析直线电动机的方法是建立电机的三维模型，但是三维模型的建立复杂而且求解方程的个数及维数较多，不利于分析计算[6]。为了简化分析过程，将三维模型进行合理假设，简化为二维模型进行计算，可作如下假设：

1) 直线电动机定子在x轴和z轴方向无限长；

2) 直线电动机铁磁材料的磁导率无限大；

3) 忽略电机端部磁场畸变引起的端部效应。

根据如上假设，可以将复杂的直线电动机三维磁场求解问题简化为二维磁场求解问题[8]。由于永磁同步直线电动机中的气隙磁场几乎全部由永磁体提供，所以在用解析法求解气隙磁密时需要将永磁体进行等效。等效磁势法的原理是将永磁体等效成无限薄的线圈，使该线圈产生的磁动势与永磁体产生的磁动势等效，将永磁体和气隙组成的区域等效为一无源场[8]，在求解时用该线圈产生的磁动势进行计算，永磁同步直线电动机等效磁势法分析模型如图2所示，δ为上下定子背铁之间的距离，即气隙高度。

图2 直线电动机分析模型

在假设成立的条件下，永磁体的磁势空间分布情况如图3所示，τ为直线电动机极距，τm为永磁体宽度，磁势分布函数如下：

图3 永磁体等效磁势分布图

k=0,1,2,3，…

(1)

(2)

式中：

因为背铁之间的区域被等效为无源场，所以其中的标量磁位满足方程[9]：

(3)

利用变量分离法对方程求解得到方程的通解：

[Cksh(mky)+Dkch(mky)]

(4)

标量磁位关于x轴奇对称[8]，即u(-x,y)=-u(x,y)，解得Bk=0，代入式(4),将原方程化简：

(5)

根据假设(2)可得边界条件：

(6)

将式(6)代入式(5)得到：

(7)

(8)

式中：

联立式 (7)，式(8)解得：

Dk=0

(9)

(10)

将式(9)，式(10)代入式(5)中得到：

(11)

将标量磁位的通解分别对x，y求偏导,得到气隙磁密在x，y方向上的分量：

sh(mky)·cos(mkx)

(12)

ch(mky)·sin(mkx)

(13)

3 有限元法验证

为了验证以上解析法得到的气隙磁密表达式的准确性，建立了永磁同步直线电动机的二维有限元分析模型，对气隙磁密进行求解分析。直线电动机的极距τ=16 mm，永磁体高hm=5 mm，永磁体宽度τm=13 mm，气隙高度δ=19.6 mm，绕组高度hc=3.76 mm，得到的磁感线分布图如图4所示，气隙磁密分布图如图5所示。

图4 磁感线分布图

图5 气隙磁密分布图

将y=0处解析法与有限元法得到的气隙磁密进行对比，结果如图6所示。由图6可知，等效磁势法的计算结果只在磁密曲线的波峰波谷出现明显误差，经计算的平均误差为3.04%，精确度符合要求。y=2 mm处解析法与有限元法计算的气隙磁密对比如图7所示。两种方法的计算结果平均误差为3.53%，符合对准确度的要求。经计算后得到，当y≥3 mm时，等效磁势法的计算结果会出现比较明显的误差，因此在本例中绕组的高度应控制在6 mm以内。推广到其他的无铁心永磁同步直线电动机，当绕组高度不超过气隙空间高度的30%时，可以认为等效磁势法计算得到的气隙磁密表达式是准确的。在对直线电动机进行建模时，为了便于分析计算，将三维模型进行适当假设，简化为二维模型，使得解析法的计算结果产生了一定误差，但是由于误差较小可以忽略，因此可以认为解析法的计算精度满足要求。

图6 y=0处气隙磁密分布图

图7 y=2 mm处气隙磁密分布图

4 直线电动机推力分析

直线电动机的推力是由永磁体产生的静磁场和通有正弦交流电的绕组产生的行波磁场相互作用产生，可以通过直线电动机的气隙磁密和绕组的电流密度计算得到。由于绕组为无铁心结构，并且气隙磁场几乎全部由永磁体产生，所以电机不存在齿槽力且端部效应小得多。本文中直线电动机绕组采用5极/3线圈结构，其空间分布如图8所示。

图8 绕组空间分布图

对应图8的绕组空间分布图，可以写出直线电动机A相绕组的电流密度分布函数：

(14)

式中：

通过A相绕组的电流密度分布函数及气隙磁密的公式可以得到A相绕组产生推力的微分形式：

dFxA=lcJaBydxdy

(15)

对应于图8的绕组位置，A相绕组产生的推力：

(16)

式中：

将绕组的位置推广到一般情况，当绕组在任意位置时将坐标原点由x0取代，A相绕组的电流密度分布函数如下式：

(17)

式中：

同理，可以得到B相，C相绕组的电流密度分布函数。

A相绕组产生的推力：

cos[mk(x0+tc)]

(18)

同理，可以得到B相，C相绕组的推力：

cos[mk(x0+tc+tm)]

(19)

cos[mk(x0+tc+2tm)]

(20)

式中：

将式(18)～式(20)整理后得到直线电动机绕组产生的总推力：

(21)

当电机绕组中的电流有效值为1 A时，用解析法和有限元法计算电机的推力，通过实验测得推力数据，并获得数据曲线，结果如图9所示。在进行实验时，首先将电动推杆和测力计固定，将测力计与上位机相连，打开与测力计配套的控制软件，然后利用直线电动机匀速推动电动推杆，在软件中记录电机推力的变化曲线，实验过程如图10所示。从图9中可以看出，有限元法计算的结果与实验数据很接近，解析法求出的推力与两者的结果存在一定误差，经计算得到解析法的计算结果与有限元法及实验数据的平均相对误差为3.85%，可以认为计算的结果是准确的。由于直线电动机气隙中的磁密大小不是按照标准正弦波进行分布的，而是存在一定数量的谐波，因此直线电动机在运动过程中会产生推力波动。从推力波动的角度看，电机的推力输出比较平稳，解析法计算出的推力波动为±1 N，有限元法计算的推力波动为±1.2 N，实验结果的推力波动为±1 N，证明解析法计算的结果是准确的。

图9 解析法、有限元法计算推力与实验结果对比

5 结 语

本文采用等效磁势法推导出了无铁心永磁同步直线电动机的气隙磁密和推力解析表达式，对其计算结果进行了分析，并建立了直线电动机的有限元分析模型，利用有限元法计算电机的磁场和推力，对比了两种方法的计算结果，最后进行了直线电动机的推力实验。通过计算得知，等效磁势法的计算误差在可接受的范围内，验证了磁密和推力解析公式的准确性。由于得到的磁密表达式不能保证在整个气隙中都保持同样的准确性，因此提出使用等效磁势法时为保证精确度需要具备的条件，在无铁心永磁同步直线电动机中，当绕组的高度小于气隙高度的30%时，利用等效磁势法计算出的直线电动机磁通密度和推力是较为准确的。