单位冲激抽样序列频谱与傅里叶级数收敛性分析

杜 峰， 唐 岚

(1. 广东机电职业技术学院 汽车学院， 广州 510515； 2. 西华大学 汽车与交通学院， 成都 610039)

两种频谱函数形式差别很大，已证明级数型频谱是正确的，虽然并不常用。周期型频谱得到广泛应用，但其推导存在不严谨之处，没有分析单位冲激抽样函数傅里叶级数的收敛性，况且已有研究表明冲激序列不满足级数收敛的狄里赫利条件。

若能证明两频谱函数本质相同，则可得出两点结论：①周期型频谱函数是准确的；②冲激抽样序列的傅里叶级数是收敛的。但在其级数的收敛性确认之前，不能以傅里叶变换的唯一性来判定两频谱等价。因此，两频谱函数的等价性证明具有重要意义。

周期型频谱的推导首先要对冲激序列做傅里叶级数展开。刘涤尘等[8]对级数逼近冲激序列时的收敛性提出质疑，函数不满足狄里赫利条件，它的冲激点不是第一类间断点，一周期内极大值虽只有一个，但幅值为无穷大，因此，周期型频谱函数的推导不严谨。他根据傅里叶变换定义导出了级数型频谱，并由离散时间傅里叶变换间接证明了级数型频谱的正确性。

熊元新等[9]分析了冲激序列傅里叶级数的收敛性，认为函数不满足狄里赫利条件，因为虽然它满足黎曼引理的条件，但是黎曼引理的两个极限不成立。证明了当级数项趋于无穷时，冲激序列傅里叶级数部分项的和，变为等价的狄拉克函数，认为其傅里叶级数不存在吉布斯现象。但有几点值得商榷：①等价狄拉克函数的严谨性有待分析[10]；②冲激序列傅里叶级数不存在吉布斯现象的依据有待讨论；③对理论推导的结论缺少实例验证。显然单位冲激抽样序列两种频谱的等价性证明是一个恰当的验证方法。

如果收敛性没有问题，那么周期型频谱也是严谨的，它与级数型频谱应该是等价的。文献常以傅里叶变换的唯一性或者傅里叶级数判定二者相同，而没有直接论证，影响到对傅里叶变换性质的理解掌握。

郑君里对周期型频谱函数做傅里叶级数展开，得到级数型频谱，从而判定二者等价，但同样存在上述提出的收敛性问题。另外，这种通过定理建立联系的证明，不清晰直观，需要透彻理解信号的正交分解变换思想。虽然数学上显示二者相等，但是概念上还是模糊，难以理解级数型频谱函数实质为什么是频域下的一个周期冲激函数。

必须从冲激函数定义入手，证明无穷级数频谱函数，在周期频点上幅度为无穷大，强度为定值，其它频点无幅值，这样两频谱函数等价的结论就非常清晰。现有文献欠缺此类研究，论文对此做了严密分析，运用极限、积分和抽样函数sin(t)/t性质，结合冲激函数定义，直观的证明了两频谱函数等价，显示了无穷级数逼近周期冲激序列时收敛，并讨论了冲激抽样序列傅里叶级数的吉布斯现象；同时也分析了周期型频谱函数的傅里叶级数展开式与级数型频谱函数存在符号差异的原因，指出二者等价。

1 单位冲激抽样序列

单位冲激抽样序列是狄拉克函数δ(t)的以T为周期的延拓时间序列，其数学表达式为

(1)

式中：k为整数，下文亦是如此。

2 单位冲激抽样序列的两种频谱函数

对于周期冲激抽样序列的频谱密度函数，应用傅里叶变换的频移和时移特性，可分别导出一种频谱表达式，然而这两种表达式差异较大。

2.1 由频移特性推导的频谱函数

傅里叶变换频移特性的数学表达为

F[g(t)ejωct]=G(ω-ωc)

(2)

式中：G(ω)为时间信号g(t)的傅里叶变换；ωc为常数；F为傅里叶变换运算，下文于此相同。

单位冲激抽样序列是周期函数，但不满足狄利赫里条件，姑且先展开成傅里叶级数形式

(3)

式中：1/T为各次谐波傅里叶级数系数。

式(3)中求和项的ejnω0即为1(t)·ejnω0t，利用单位直流信号的广义傅里叶变换，由傅里叶变换的频移特性，可得周期型频谱X1(ω)

(4)

2.2 由时移特性推导的频谱函数

傅里叶变换时移特性的数学表达为

F[g(t-t0)]=G(ω)ejωt0

(5)

据傅里叶变换时移特性，得到级数型频谱X2(ω)

(6)

3 两种频谱函数相同性证明

两种不同形式的函数：①周期函数；②无穷级数，均由单位冲激抽样序列而来。如果能从定义入手证明二者相等，而不是利用傅里叶级数(因为序列不满足狄利赫里条件，傅里叶级数存在和收敛性未知)，那么式(3)的推导就是准确的，即：单位冲激抽样序列的傅里叶级数存在且收敛。下面予以分析。

3.1 级数型频谱函数X2(ω)的幅值

根据式(4)中X1(ω)的表达，频谱在圆频率ω0整数倍频点处是冲激函数，即当ω=kω0，幅值为无穷大，在其它频点上，幅值为零。

级数型频谱函数X2(ω)的级数项的指数正负对称，因此X2(ω)必定是实数，直接求其数值，而不是绝对值，可以同时得到幅值和相位信息。

3.1.1 圆频率整数倍频点(ω=kω0)的幅值

因为ω0T=2π，所以在kω0频点处X2(ω)为

(7)

3.1.2 其它频点(ω≠kω0)的幅值

令ω=(a+p/q)ω0，其中a为整数，p和q为正整数，且p

(8)

单位圆上均匀分布的复指数函数代数和为零，即

(9)

因此式(8)可写作

(10)

通过变量代换，将n代换为l，可求得

(11)

(12)

式(12)说明，对于其它非圆频率整数倍频点，频谱的幅值为零，式(7)显示在圆频率整数倍频点处，频谱的幅值为无穷大，因此X2(ω)本质上是一个周期冲击函数，冲击发生在周期序列圆频率的整数倍频点处。

3.2 级数型频谱函数X2(ω)的冲激强度

3.1节证明了级数型频谱函数X2(ω)本质上是一个周期冲击函数，在某一频点处的脉冲强度，可以通过频谱函数X2(ω)在这一频点上的积分来获得。

3.2.1 直流频率点(ω=0)处的强度

级数型频谱X2(ω)在零频率点的冲激强度为

(13)

改变求和与积分次序，计算积分，式(13)变为

(14)

运用欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ，得到

(15)

因为cos(ωnT)/(nT)对于变量ω而言是偶函数，因此0-和0+下求和的结果相等，于是式(15)的前项结果为零。于是零频率点脉冲响应强度为

(16)

式(16)中频率ω取0-和0+，故可转化为极限运算，由于求和函数sin(ωnT)/(nT)对于变量ω而言是奇函数，于是0-和0+下求和的结果相反，因此式(16)在转换为极限运算时具有二倍关系，即

(17)

整数n的变化量Δn=1，式(17)可转化为

(18)

由于频率ω趋向于零，故Δnω也趋向于零，于是可以将式(18)的求和运算转换为积分运算，圆频率ω为常数，n从负无穷大变化到正无穷大，将nω整体看作一个变量Ω，则其变化范围也是负无穷大到正无穷大。最后式(18)可转化为

(19)

(20)

3.2.2 圆频率整数倍频点kω0处的强度

由式(13)～式(16)可知，级数型频谱函数X2(ω)在频点kω0处的冲激强度为

(21)

经变量代换和三角函数展开，式(21)可转化为

(22)

以下的证明与“3.2.1”节相同，可得到在圆频率整数倍频点kω0处的冲击强度都是ω0。

由冲激函数定义和上述分析可知级数型频谱X2(ω)本质是周期和强度均为ω0的等强度冲击函数，即

(23)

可见，虽然级数型频谱函数X2(ω)与周期型频谱函数X1(ω)的函数形式迥异，但是本质却相同。

4 傅里叶级数收敛性分析

第“2.1”节周期型频谱函数的推导方法为多数教材所采用，但并不严谨，因为冲激抽样序列仿佛并不满足狄利赫里条件，而书中也没有分析其级数的收敛性，却直接由傅里叶级数进行频谱推导。

狄利赫里条件只是傅里叶级数收敛的充分非必要条件[11]，这里不讨论条件是否满足，只分析单位冲激抽样序列傅里叶级数是否收敛。两个角度均能说明周期冲激抽样序列的傅里叶级数收敛。

(1)从傅里叶级数展开的合理性角度。已证明级数型频谱函数是正确的，第“3”节由定义证明了它本质正是周期型频谱函数，因此周期型频谱函数也是准确的，于是式(3)的傅里叶级数展开是合理的，即单位冲激抽样序列的傅里叶级数存在且收敛。

(2)纯粹数学运算角度。式(23)是由第“3”节纯粹的数学推导而来，没有用到傅里叶变换性质，也没有根据同一信号频谱相等的知识，它显示了频域下的一个等强度ω0的周期冲激函数与一个无穷级数(由复指数正交函数集组成)相等，这说明等强度ω0的周期冲激函数的傅里叶级数收敛于原函数，而单位冲激抽样序列与其是比例关系，因此，时域下的单位冲激抽样序列的傅里叶级数同样收敛。

刘涤尘和熊元新都曾从不同角度证实单位冲激抽样序列不满足狄利赫里条件，因此，单位冲激抽样序列是不满足狄利赫里条件，却存在傅里叶级数且级数收敛的一个典型信号。

5 讨 论

第“3”节关于两个频谱函数等价性的证明，是所有推断的基本依据，触发了对一些重要概念的探讨。

5.1 两个重要计算式

从两个角度均能确定此无限级数和为零。①如“3.2.1”节分析，函数cos(ωnT)/(nT)对于变量ω而言是偶函数，频率ω为0-和0+下的函数值相等，差值为零；②函数cos(ωnT)/(nT)是变量n的奇函数，对于确定的频率ω(例如0+或0-)， 变量n在对称区间(-∞～+∞)求和的结果必然为零，即

(24)

①由于sin(ωnT)/(nT)是变量ω的奇函数，0-和0+看作是关于原点对称的两个频点，两处的函数值互为相反数，于是得到

②sin(ωnT)/(nT)是变量n的偶函数，对于确定的频率ω，变量n在对称区间上求和的结果就可能不为零，这里频率ω为0+，可转化为频率ω对零取极限，根据抽样函数的性质，可得到求和的结果。

5.2 冲激点吉布斯现象是否存在

吉布斯现象是指当傅里叶级数项增加到充分多时，靠近间断点处的波动误差趋于稳定，大约是间断点函数值的9%。冲激抽样序列的傅里叶级数，吉布斯现象是否存在？熊元新等认为不存在。

5.2.1 参考文献[12]的分析

文献[12]给出一个收敛条件：一个周期内，函数可积且绝对可积。并采用均方误差分析了傅里叶级数的吉布斯现象，认为满足此收敛条件的周期函数，其傅里叶级数(用完备正交三角函数集表示)，一致收敛于原函数，不存在吉布斯现象。

对于单位冲激抽样序列，如果存在吉布斯现象，那么冲激点的幅值误差为冲激点幅值的9%，即无穷大量的9%，也是无穷大，则一致性收敛就不存在，因此判定冲激抽样序列的傅里叶级数不存在吉布斯现象。

5.2.2 不能验证吉布斯现象不存在

参考文献[12]关于一致性收敛的判定是欠妥的，周期矩形函数满足收敛条件，但它的级数在间断点附近趋于9%的误差，不是一致性收敛。因此单位冲激抽样序列的傅里叶级数是否存在吉布斯现象有待验证。

从幅值角度看：①冲激点幅值为无穷大，如果存在吉布斯现象，9%的误差作用下，冲激点幅值还是无穷大，故“3.1”节冲激点频谱幅值为无穷大的分析，不能确定吉布斯现象是否存在；②吉布斯现象会使得间断点kω0的一个去心邻域内，无穷级数和不为零，而是从无穷大量向零的振荡过渡值，“3.1”节证明了其他频点的函数幅值为零，但此证明中的级数项为无穷大，如果存在吉布斯现象，这个去心邻域也趋近于零，冲激点之外的函数值也为零，因此，不能验证吉布斯现象不存在的观点。

从强度角度看，“3.2”节证明了各个冲激点的冲激强度都为ω0，说明冲激点没有强度误差，仿佛不存在吉布斯现象。假设吉布斯现象存在，它会导致冲激点处叠加一个冲激误差信号(因为此时级数项为无穷大)，但如果此冲激误差信号的强度趋于零，那么kω0频率点的冲激强度仍然等于圆频率ω0。故“3.2”节冲激点处冲激强度为ω0的证明并不能说明吉布斯现象不存在。

5.3 频域周期函数X1(ω)的傅里叶级数

周期型频谱函数X1(ω)是频域内的周期冲激函数，已在第4节确定了冲激抽样序列傅里叶级数的收敛性，可以做傅里叶级数展开。

傅里叶级数是纯粹的数学变换，与函数所在的空间域无关，如果将X1(ω)频率变量ω换做时间变量t，就成了时域函数，实际是相同的函数，因此其傅里叶级数与时域下的展开形式相同

(25)

式中：σ为基本角频率；Kn为傅里叶级数系数。

5.3.1 参数σ和傅里叶级数系数Kn的确定

式(25)中角频率σ=(2π)/ω0。由于在“2.1”节推导抽样序列频谱X1(ω)时，得到ω0=(2π)/T，因此这里的σ=(2π)/ω0=T。

傅里叶级数系数Kn是X1(ω)一周期内的积分

(26)

代入参数值σ和Kn，式(25)可变为

(27)

5.3.2 冲激序列傅里叶级数收敛性再次验证

第“3”节已证明周期型频谱函数X1(ω)与级数型频谱函数X2(ω)本质相同，因此，如果频域下周期冲激序列X1(ω)的傅里叶级数等于X2(ω)，那么可以再次验证周期冲激序列的傅里叶级数存在且收敛。

比较X1(ω)的傅里叶级数式(27)和式(6)，发现复指数函数存在负号差异。下面予以分析：

(28)

可见式(27)和式(28)相同，再次显示周期冲激序列的傅里叶级数收敛：

(29)

6 结 论

单位冲激抽样序列的频谱函数有周期型和级数型两种形式。由于单位冲激抽样序列不满足狄里赫利条件，其周期型频谱函数、傅里叶级数收敛性和吉布斯现象有待分析。论文从冲激函数定义入手，运用极限、积分和冲激函数特性，通过证明两频谱本质相同，验证了冲激抽样序列傅里叶级数的收敛性。对周期型频谱函数傅里叶级数的分析再次验证了这个结论。但对于不存在吉布斯现象的论断，此处不能得到验证。