数学文化在实变函数与泛函分析教学中的渗透

吴照奇，朱传喜



数学文化在实变函数与泛函分析教学中的渗透

吴照奇，朱传喜

（南昌大学 理学院，江西 南昌 330031）

实变函数与泛函分析是数学系的专业主干课程之一，对于培养学生的分析能力以及进入现代数学前沿起到至关重要的作用．数学文化主要指数学的思想、方法和观点，也包括数学史、数学家和数学美等．以南昌大学专业课“实变函数与泛函分析”的教学实践为例，探讨如何将数学文化渗透到该课程教学中，实现培养学生数学素养的目标．

数学文化；实变函数；泛函分析；数学素养

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》指出：“要优化学科专业和层次、类型结构，重点扩大应用型、复合型、技能型人才培养规模．”[1]

《江西省教育事业发展“十三五”规划》提出的发展目标包括：“教育教学改革不断深入，学生的创新精神、实践能力显著增强，学业水平和自主学习能力全面提升．”[2]

“实变函数与泛函分析”是南昌大学数学系信息与计算科学专业的一门专业主干课，第5学期开设，学时80．这门课程作为信计专业的主干课程之一，在培养学生的分析功底方面有重要作用．学好这门课程，有助于学生应用其理论和思想解决数学其它分支学科的许多问题，帮助学生尽快进入现代数学前沿，为进一步深造打下坚实基础．目前使用的教材是程其襄等编的《实变函数与泛函分析基础》[3]．

“数学文化”作为一门重要的II类通识课，其主要目标是培养学生的数学素养．南昌大学在本科教学，尤其是数学文化类课程教学方面积极探索，积累了一些宝贵经验[4-6]．在该课程教学中，主要参考的是顾沛教授编写的《数学文化》[7]以及其它各种数学文化类书籍．近年来，许多学者从课程建设、教材建设、数学素养测评和教育哲学等视角来研究数学文化，进行了有益的探索，获得了丰硕的成果[8-12]．

李大潜先生曾指出：“对学生在数学文化方面的训练，理想的方式应该是结合数学课程，特别是数学主干课程的教学来进行．这样做，数学文化的渗入，虽然表面上看仅仅是一个配角，但在密切结合数学内涵这一载体的讲授过程中，却不显山、不显水地起着画龙点睛的作用．”[13]在近几年的教学实践中，尝试将数学文化渗透到“实变函数与泛函分析”的教学当中，积累了一些经验，取得了较好的效果．

1 梳理发展简史及体系脉络使学生纵览全局

陈省身先生曾指出：“了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤．”数学也不例外，历史是一面镜子，学习任何一门数学课程，只有首先了解历史上这门课程研究内容的来龙去脉，才能对这些研究内容的产生有一个充分的认识，才能对将要学习的各种定义和定理的引入和提出不感到突兀．

在实变函数篇，在第一节课讲授绪论时花了较多的时间来讲3个问题：为什么（Why）、是什么（What）和怎么样（How）．关于“为什么”，主要是讲清楚为什么历史上要产生以勒贝格测度（Lebesgue’s measure）和勒贝格积分（Lebesgue’s integral）理论为主要内容的实变函数论．首先，从回顾黎曼积分理论开始，分析黎曼积分（Riemann’s integral）的主要缺陷，指出在历史上发展新的积分理论的必要性．其次，简要介绍在勒贝格之前，约当（Jordan）、波雷尔（Borel）等人所做的一些前期工作，并顺带介绍了法国函数论学派在19世纪末到20世纪初期间的辉煌成就．关于“是什么”，主要是简要说明勒贝格积分的主要思想，并用计算钱币总值的例子来帮助学生理解黎曼积分与勒贝格积分的区别．关于“怎么样”，主要是解释为何要按照集合—点集—测度论—可测函数—积分论这样一个逻辑顺序来逐步推进，最终建立勒贝格积分理论．

在泛函分析篇，也首先介绍了历史上泛函分析是如何受到变分问题、微分方程和积分方程以及量子物理学的刺激而产生并逐步发展的．比如，量子化的要求迫使不能再以普通变量来表示物理量，而要使用无穷维内积空间中的自伴线性算子．特别地，泛函分析之所以要以无穷维空间为主要研究对象，很大一部分原因是物理学上很多问题是涉及到无穷自由度的系统（如桥梁振动等连续介质力学）而不是有限自由度的系统（如质点力学）．如果说天体力学的数学语言是微积分，相对论的数学语言是黎曼几何，那么量子力学的数学语言则是泛函分析．同时，也指出泛函分析的3个重要研究分支是非线性泛函分析、算子理论与算子代数和空间理论，在该门课程当中，主要讲授的内容以线性泛函分析为主．

在介绍该门课程的前世和今生后，简单说明这门课程内容的一些后续发展．通过这些内容的介绍，学生对于这门课在整个数学发展史上产生的时间、背景、地位以及与其它所学课程和后续课程的关系有一个比较清楚的了解，这样，学生对于所学内容获得了一个整体上的宏观把握，在正式讲授相关章节内容时，就可以做到有的放矢，学生也可以做到心中有数．

2 介绍数学家的趣闻轶事 激发学生的学习兴趣

在实变函数论与泛函分析的发展过程中，有不少代表人物，其中很多人是历史上的著名数学家．在教学过程中适当穿插讲解这些数学家的趣闻轶事，有助于提高学生的学习兴趣．

在实变函数篇，在绪论导入时，介绍了勒贝格等数学家的故事．勒贝格（Lebesgue）尽管开始研究的东西不太被人理解，但他讲课很受欢迎，大部分听课的人都觉得他讲课既深刻又有趣．皮卡（Picard）则是个古怪高傲的人．哈达玛（Hadamard）是法国最著名的数学家之一，在几何和分析方面都有颇多建树．哈达玛还有一个很奇特的嗜好，那就是收集蕨类植物．

在介绍测度的卡氏条件定义时，介绍了卡拉西奥多里（Carathéodory）和他的学生，中国第一位数学女博士——徐瑞云．卡拉西奥多里是一个希腊富商的儿子，在测度等很多方面有重要的贡献，还曾写过一本很几何化的复变函数的书．他起初是一个工程师，26岁突然放弃了工作去德国哥廷根大学学习数学．徐瑞云1915年生于上海，本科就读于浙江大学数学系，师从著名数学家苏步青和陈建功，毕业后在数学系担任助教，后与丈夫同赴德国留学，师从著名数学家卡拉西奥多里，成为其关门弟子，26岁学成回国．1952年，全国高校进行院系大调整，徐瑞云先是留在浙大，后又调往浙江师范学院（后杭州大学）担任数学系系主任．

在泛函分析篇，介绍了希尔伯特（Hilbert）、冯·诺依曼（John von Neumann）等数学家的轶事．比如，著名女数学家爱米·诺特1916年从埃尔朗根来到哥廷根．希尔伯特和克莱因很重视她，要为诺特争取一个讲师的职位，但遭到大学评议会的反对．后来，希尔伯特以自己的名义申请一门课，让爱米·诺特来讲授．诺特很快显示出她的才能，在代数方面做了许多奠基性的工作，后来成为世界著名数学家．也介绍了“希尔伯特23个问题”的数学典故，指出希尔伯特不仅有杰出的数学才能，也有高尚的品格．

巴拿赫（Banach）是波兰天才数学家，在1927年参加一个数学聚会的时候，他伙同众多数学家，一起用伏特加灌冯·诺依曼，最终冯·诺依曼不胜酒力去厕所呕吐．但是巴拿赫回忆说，当他回来继续讨论数学的时候，丝毫没有打乱思路．冯·诺依曼是一个天才数学家，在数学的多个分支都有建树．

通过对这些数学家的趣闻轶事的介绍，学生的学习热情被点燃，教科书上一个个以这些数学家名字命名的定义和定理变得不再是冷冰冰的，学生在学习这些内容时，脑海里浮现的是这些个性鲜明、有血有肉、鲜活的人物形象．这为学习这些较抽象的数学知识增添一抹亮丽的色彩，对于提高教学效果无疑有重要帮助．同时，这些数学家对于数学锲而不舍、矢志不移的精神，认真专注、不懈探索的态度和大公无私、助人为乐的品格也对学生有着潜移默化的熏陶．

3 渗透数学思想方法和观点 培养学生知识迁移 能力

对于数学专业课而言，知识的传授只是教学的最基本要求，更重要的是要以知识为载体，培养学生的创新能力．而创造来源于模仿和借鉴，或者说，创新能力的一个突出的体现是知识迁移能力．在“实变函数与泛函分析”的教学过程当中，十分注重通过一些典型的数学方法和数学观点的渗透，来达到培养学生知识迁移能力的目的．

比如，在第一章集合论中，关于集合列的上下极限是一个重点也是难点内容．教材上的定义从初学者角度而言并不容易接受．为此，借鉴了一些其它教材的处理方式，利用集合的交并运算作为其定义，而将程其襄教材上的定义作为性质得出．在这里，如何合理引入定义，需要进行一定的教学设计．首先，让同学们回顾数列的上下极限的定义；其次，让同学们思考如何利用类比法将数集的上确界、下确界对应到集合的相关运算．经过引导和讨论，同学们将正无穷大、负无穷大对应于集合的全集和空集，将数的大小关系对应于集合的包含关系，将数集的上确界和下确界对应于集合列的并运算和交运算．这样，就让学生自己通过类比进行了知识迁移，非常自然地得到了集合列的上下极限定义．

在第一章介绍无限集基数的概念时，引入“希尔伯特旅馆问题”，即有可数无穷个客人已入住了可数无穷个房间的旅馆，再来客人之后，如何安排住宿的问题[8]．从这个问题中，抽象出了一一对应这一问题的本质，在此基础上自然地引入了无限集合对等和基数的概念，从而将有限集合元素个数这一概念通过知识迁移进行了推广．

又如，在第五章积分论关于L积分和R积分的关系一节中，为给出L积分的几何意义以及Fubini定理，需要先介绍截面定理．教材上关于截面定理的证明在整个实变函数篇诸定理中是最长也是最复杂的．教给学生的处理方法是“化繁为简，由简至繁”．这一方法是处理很多数学问题的有效方法，在讲授“数学文化”时的“猜帽子”和“抓三堆”等问题中屡试不爽．具体到截面定理的证明，引导学生应先考虑有界可测集，再考虑无界可测集．对于有界可测集情形，根据第三章所讲可测集的构造，可以先考虑型集和零测度集．要考虑型集，又可先考虑开集．而根据开集构造，自然又可先考虑左开右闭区间情形．对于区间来说，定理的证明是不难的．由此，可以通过这样5步来完成有界可测集情形的证明．

再如，在引入泛函分析篇的度量、范数等概念时，从回顾平面上两点间的距离和向量模长入手，分析这两个量的重要性质，将这些性质抽象化之后就可以得到公理化的度量和范数定义．这里，突出了抽象化的思想，并顺带介绍了“哥尼斯堡七桥问题”，重点阐述了欧拉如何将这一问题抽象为一笔画问题．

目前，南昌大学对于数学文化的传播更多地侧重于非数学专业学生，然而，对于数学专业的学生来说，如何借助已有的数学课程体系，在数学专业课中通过数学文化的渗透来增强学生的兴趣，使学生掌握学好数学的方法，并对所学课程的历史和发展趋势有较好的理解和把握，是值得思考的问题．

从“实变函数与泛函分析”课程的教学实践中，发现在数学专业课中渗透数学文化，对于培养数学专业学生的数学素养，提高学生的创新能力有较大的作用．在今后的教学中，希望进一步总结经验、积极探索，将数学文化进一步渗透到其它数学课程的教学中，为实现培养复合型创新人才的目标而不懈努力．

[1] 顾明远．国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）解读[M]．北京：北京师范大学出版社，2010：1-476．

[2] 江西省人民政府办公厅．江西省教育事业发展“十三五”规划[R]．江西省人民政府公报，南昌，2016：23-24．

[3] 程其襄，张奠宙，魏国强，等．实变函数与泛函分析基础[M]．3版．北京：高等教育出版社，2015：1-347．

[4] 朱传喜．充分发挥教学积极性 努力提高本科教学质量[J]．中国大学教学，2008（3）：50-51．

[5] 朱传喜，黄先玖．南昌大学数学文化课程的建设与实践[J]．数学教育学报，2012，21（1）：3．

[6] 朱传喜．努力提高大学生的数学素养[J]．数学教育学报，2014，23（6）：14-16．

[7] 顾沛．数学文化[M]．北京：高等教育出版社，2008：1-252．

[8] 朱长江，李书刚，胡中波．在数学文化课程中引进优质教学资源开展混合式教学的探索与实践[J]．数学教育学报，2016，25（4）：30-32．

[9] 唐恒钧，张维忠，李建标，等．澳大利亚数学教材中的数学文化研究——以“整数”一章为例[J]．数学教育学报，2016，25（6）：42-45．

[10] 王娅婷，毛秀珍．数学素养的测量及评价[J]．数学教育学报，2017，26（3）：73-77．

[11] 史淑莉．数学素养视阈下初高中数学衔接问题研究[J]．数学教育学报，2017，26（4）：30-33．

[12] 徐文彬，彭亮．中国数学教育哲学研究的回顾与反思（2000—2015）——兼论数学文化的教育哲学探索[J]．数学教育学报，2017，26（2）：60-65．

[13] 李大潜．浅谈数学文化[J]．中国大学教学，2013（9）：4．

The Penetration of Mathematical Culture in the Teaching of Functions of Real Variables and Functional Analysis

WU Zhao-qi, ZHU Chuan-xi

(College of Science, Nanchang University, Jiangxi Nanchang 330031, China)

Functions of Real Variables and Functional Analysis was one of the major courses of mathematical department, which played an indispensable role in cultivating the students’ ability of analysis and help them got close to the frontiers of modern mathematics. Mathematical culture mainly refered to the thinking, method and viewpoint of mathematics, and also included the mathematical history, mathematicians and mathematical beauty. In this paper, taking the teaching practice of the course “Functions of Real Variables and Functional Analysis” as an example, we discussed how to penetrate mathematical culture to the teaching of this course in order to fulfill the goal of cultivating mathematical literacy of students.

mathematical culture; functions of real variables; functional analysis; mathematical literacy

2018–10–28

江西省高等学校教学改革研究项目——复合型人才培养视角下的《数学文化》教学研究与实践、关于数学专业评价促教改提质量的研究（JXJG-15-1-42；9130-1401）；南昌大学教学改革研究项目——复合型人才培养视角下的《数学文化》教学研究与实践（NCUJGLX-15-1-45）；教育部财政部2008年国家级教学团队建设项目——南昌大学公共数学教学团队（教高函〔2008〕19号）；教育部2013年国家级精品视频公开课建设项目——《走近科学女王——数学》（教高厅函〔2014〕12号）；教育部2017年国家精品在线开放课程建设项目——《聪慧的源泉——数学导读》（教高厅函〔2017〕80号）；江西省赣鄱英才“555”工程领军人才项目

吴照奇（1983—），男，江西彭泽人，副教授，博士，主要从事量子信息学、泛函分析和数学教育研究．

G40-012

A

1004–9894（2019）01–0089–03

吴照奇，朱传喜．数学文化在实变函数与泛函分析教学中的渗透[J]．数学教育学报，2019，28（1）：89-91．

[责任编校：周学智、张楠]