分类讨论思想在高中数学解题中的实践探究

金伶俐

(江苏省启东市第一中学 226200)

新课程改革更加重视在高中数学教学中加强对学生的思维训练.分类讨论思想的本质是发散性思维，培育学生分类讨论的思想便是在锻炼学生的发散思维能力.高中数学题型灵活多变，为帮助学生完整作答，锻炼学生的分类讨论思想显得更有必要.

一、培养分类讨论思想对高中生学习的意义

1.锻炼学生发散性思维

发散性思维是与聚合思维相对的概念.锻炼高中生的发散性思维不仅是为了他们数学学科的学习效率，还是为了提升学生的思维水平，使学生更好地生活，迎合素质教育的需要.学生经过高中阶段的思维训练会逐渐形成从不同角度看问题的习惯，当学生接触到不同观点时，学生能够自觉对不同观点进行分类，然后得出自己的观点.这实际上也体现了学生独立思考能力的形成.

2.提升解题效率

教师培育学生分类讨论的思想能使学生在做题过程中形成更多“敏感点”.学生看到题目中的某些关键词能够迅速反应，出现这类关键词的题目往往涉及分类讨论思想.例如，高中知识中与函数有关的题型往往需要分类讨论，尤其是在讨论函数值域、定义域的时候，函数中对x的系数的约束条件往往直接决定了函数的值域、定义域.再如讨论图形位置的时候，只要看到“两个圆心的距离”等关键词，学生便会立即反应出：根据距离的不同可分为相交、相切、相离等位置关系.

二、高中数学教师培养学生分类讨论思想存在的误区

1.所选例题重复性高

教师在高中数学教学中渗透分类讨论思想，必须通过一定量的习题深化学生对“分类讨论”内涵的理解.但许多教师在选择例题的时候没有关注例题的典型性，而是用大量相同类型的题目堆砌，这导致学生学习效率不高.长期的简单重复很容易引发学生的厌烦情绪，不利于培养学生对数学学科的情感.此外，教师耗费时间讲解大量简单重复的题目势必会压缩精讲题目的时间.教师讲题思路不清晰，对细节的考量不够，便无法体现分类讨论思想在解题时的优势.学生听讲时思路不清晰，往后做题便无法达到灵活应用的水平.

2.讲解过程逻辑性不强

讲解过程的逻辑性体现的是教师教学思维的清晰程度.传统数学教学中，教师往往重视解题的结果，忽视了解题过程.但是，学生从课堂上学到的应当是一种解题思路，而非某一道题的答案.教师要授学生以“渔”，不能只是授学生以“鱼”.分类讨论思想的关键点在于寻找分类的标准、方法，因此，教师在引导学生运用分类讨论法解题时，不能忽略选择分类依据的环节而直接开始讲解分类的过程.跳跃式的授课方法很容易误导学生，使学生误认为选择分类依据不重要，具体的分类过程才是重点.

三、分类讨论思想在数学解题中的应用策略

1.选择具有连续性、代表性的例题

教师要尽量选择具有代表性的例题进行讲解，通过对例题进行归类得出具有实践意义的普遍规律.例如根据引起分类讨论的原因，大致可分为以下几类：(1)概念型分类讨论：如对某一绝对值的定义，区分大于零、等于零和小于零的情况.(2)性质型分类讨论：如运用已有的数学定理、公式，或者已有的运算性质、运算法则进行分类.等比数列的公式中，计算前n项和时要区分q=1和q≠1这两种情况.(3)结论型分类讨论：主要指求解的数学问题的结论有很多中情况或者会出现多种可能性.(4)含参型分类讨论：这类问题的分类讨论主要是由数学问题中的含参变量引起的，例如解答不等式bx>1时，要区分b>0、b=0和b<0的不同情况.

2.重视分类过程的逻辑传导

分类讨论是一种解答题目的逻辑方法，因此，教师引导学生分类讨论的时候，要关注解题逻辑的传导.根据不同的标准会产生不同的分类方法，学生应当做到既不重复又不遗漏，选择的分类依据应当有利于问题的研究.在分类时要关注分类结果的层次性，逐级进行，不能越级.同类讨论中只选择某一个确定的标准进行分类，防止讨论陷入混乱.讨论时还要遵循一定的方法步骤：首先要确定好讨论的范围和对象.然后要确定逐级讨论的标准，探讨选择的标准是否有利于解决问题.接着，如果有必要则要进行多级分类，总结概括得出结论.在讨论中，学生可能会遇到难以解决的问题，教师应教授学生简化分类讨论过程的策略.如直接回避复杂的元素，使用反证法、消参法等方法避开繁琐讨论.再如利用数形结合的思想解决问题.充分发挥函数图象、立体几何图形的优势避开复杂元素的讨论.如遇到复杂函数问题，则可以通过变更主元的方式简化公式，从而达到简化讨论的目的.

3.加强课后讨论总结

课后讨论总结的目的是升华教学内容，促使学生形成对这一部分知识的长期记忆及解决这一类问题的思维路径.教师在引导学生总结分类讨论的方法时，也要遵循一定逻辑顺序整理课堂内容.可以根据题目的类型分类，如分为函数题、图形题等.也可以根据使用的分类讨论方法归纳总结，如分为含参型、结论型等.值得注意的是，课后反思最重要的是落实到应用上，教师不能只关注学生对理论的掌握情况，还要适时考察学生将理论应用于解答题目的实际效率.因此，教师应要求学生在总结笔记中加入适当例题，通过例题理解自己掌握的分类讨论方法.教师还要引导学生反思分类过程中存在的问题，鼓励学生与其它同学讨论，分享自己的分类经验.

总之，分类讨论是一种解答数学问题的方法，也是一种提升学生思维水平的思维方法.教师在和学生一起探讨分类讨论的方法时，要持开放性的教学观念，鼓励学生提出自己的分类标准.然后通过分析不同分类方法的利弊选出最具代表性的分类方法，应用到实际解题过程中，帮助学生提升解题效率.