高中数学解题中构造法的应用

于 磊

(江苏省徐州市铜山区郑集高级中学城区校区 221116)

构造法近年来在高中数学教学中不断应用，通过构造法，能够让高中生在解决数学难题时变得更为敏捷，而且能够让学生在解题过程中获取一定的成就感，增强学生的高中数学学习兴趣，还能够将一些数学难题简单化，让学生通过构造法更好更快地解决难题，提升高中生数学成绩的过程中，提升高中生的数学学习信心，数学解题信心.

一、在高中数学中应用的构造法

构造法是一个概念，内容比较抽象.构造法就是根据数学题给出的已知条件、数学性质等等，将这些已知的数学信息与数学结构形式连接、构建起来，将需要求出的未知量转换为现有的已知量，能够从即将获取的结论中寻得已知条件，从而得到数学题的答案.很多学生在解答数学题的过程中，往往会形成固定的思维模式，从正面考虑问题，根据数学题中的已知条件逐渐推断答案.但是这种方法并不适用所有高中生，高中生必须进行思维转换，才能够获取正确答案.构造法无疑就是思维转换的过程，能够满足高中生的数学解题要求.

二、构造法在高中数学解题中的应用

构造法能够帮助高中生转换思维，能够在多种类型的数学题中使用.因此，学生需要掌握构造法的使用方法，从而提高自己的高中数学解题速度，提升高中生的数学解题质量，不断从解题过程中获取成就感，不断激发高中生的数学学习兴趣，从而提升学生的高中数学成绩.

1.在高中数学方程式中应用构造法解答

方程式是整个高中数学中最重要的知识体系构成之一，在数学学习过程中，存在较广的应用.传统的方程式解答方案，存在一定难度，再者方程式数学题本就存在一定难度，高中生在解答方程式时长时间碰壁，逐步影响高中数学的学习兴趣，进一步影响数学的学习意识.应用构造法，能够让数学方程式题目变得一目了然，能够通过分析未知变量，从而整合方程式题目中所蕴含的各种知识内容，能够有效地培养高中生的数学学习思维，能够通过运用构造法解决方程式难题获取成就感，并对抽象化的数学方程式难题进行实质性优化，从而达到降低方程式难题难度，提升高中数学难题解题效率以及解题质量的要求，从根本上解决方程式难题中信息不全面，解题不全面，无法解题等问题.

例1设d、o、z均为实数，若(d+z)(d+o+z)<0，证明(o-z)2>4d(d+o+z).

题目中的不等式为(o-z)2-4d(d+o+z)>0.由此可以联想到所学的一元二次方程根的判别式，也就是o2-4dz.由上可以构造一个二次函数，f(x)=dx2+(o-z)x+(d+o+z).只需要证明二次函数f(x)=0有两个根就可以获得答案.

当d=0时，从以上的已知条件可以获取o不等于z；反之，若o等于z，那么z(o+z)<0⟺o2<0是不成立的.因为d不等于0的时候，假设f(x)=dx2+(o-z)x+(d+o+z)，因为f(0)=d+o+z，f(-1)=2(d+o+z)，从已知的条件(d+z)(d+o+z)<0，所以，f(0)·f(-1)<0，所以二次函数的f(x)图象与x轴是相交的，所以(o-z)2-4d(d+o+z)> 0，所以(o-z)2>4d(d+o+z).

2.在高中函数中应用构造法解答

函数是整个高中数学领域中的一个重要知识点，与方程式一起构建了高中数学的两大基础性结构，在函数中应用构造法解题，能够有效地培养学生的解题思路，能够让学生将自己所学的知识应用在函数解题过程中.应用构造法解题的过程中，能够培养学生的解题思维，这也是解答高中难题的关键.高中数学知识中，几乎所有的数学练习题中都包含了一定的函数知识与函数思想.因此，在解决这一类难题的过程中，应用构造法是必须的，能够将难度较大的函数问题转变为比较简单的函数问题，能够提升学生的思维能力与创新性.

例2已知a、b、c∈(0，1)，求证：a(1-b)+b(1-c)+c(1 -a)< 1.

使用构造法，首先要构造函数.f(x)=(b+c-1)a+(bc-b-c+1).b、c∈(0，1)，f(0)=bc-b-c+1=(b-1)(c-1)> 0，f(1)=(b+c-1)+(bc-b-c+1)=bc> 0.f(x)是一次函数，该函数图象为线段.因此从a∈(0，1)恒有f(x)> 0，即(b+c-1)a+(bc-b-c+1)> 0，整理后可以得到，a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)< 1 .

3.在高中图形中应用构造法解答

高中数学难题中，很多图形题，应用常规解答方法难以解题，应用构造法，能够让数学题变得更为简单，让学生轻松解决难题.学生想要提升自己的数学难题解答能力，需要通过大量的数学题训练从而巩固学生所学知识，增强学生的问题解决能力以及思维拓展能力.

例3已知0

解构造边长为1的正三角形ABC，在三边AB、BC、CA上分别取点X、Y、Z，记XA=a，BY=b，CZ=c.，则BX=1-a，CY=1-b,AZ=1-c.由S△AXZ+S△BYX+S△CZY

在高中数学解题过程中，会涉及到很多数学理论知识以及数学公式，学生必须灵活掌握每一个公式才能够确保解题的效率与质量，获取优异的数学成绩.但是，高中数学知识较多，高中生的学习任务比较重，长时间面对大量数学问题，会影响学生兴趣.应用构造法能够帮助学生更有效率的解题.