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高中数学解题中构造法的应用

2019-02-21

数理化解题研究 2019年27期
关键词:数学题方程式难题

于 磊

(江苏省徐州市铜山区郑集高级中学城区校区 221116)

构造法近年来在高中数学教学中不断应用,通过构造法,能够让高中生在解决数学难题时变得更为敏捷,而且能够让学生在解题过程中获取一定的成就感,增强学生的高中数学学习兴趣,还能够将一些数学难题简单化,让学生通过构造法更好更快地解决难题,提升高中生数学成绩的过程中,提升高中生的数学学习信心,数学解题信心.

一、在高中数学中应用的构造法

构造法是一个概念,内容比较抽象.构造法就是根据数学题给出的已知条件、数学性质等等,将这些已知的数学信息与数学结构形式连接、构建起来,将需要求出的未知量转换为现有的已知量,能够从即将获取的结论中寻得已知条件,从而得到数学题的答案.很多学生在解答数学题的过程中,往往会形成固定的思维模式,从正面考虑问题,根据数学题中的已知条件逐渐推断答案.但是这种方法并不适用所有高中生,高中生必须进行思维转换,才能够获取正确答案.构造法无疑就是思维转换的过程,能够满足高中生的数学解题要求.

二、构造法在高中数学解题中的应用

构造法能够帮助高中生转换思维,能够在多种类型的数学题中使用.因此,学生需要掌握构造法的使用方法,从而提高自己的高中数学解题速度,提升高中生的数学解题质量,不断从解题过程中获取成就感,不断激发高中生的数学学习兴趣,从而提升学生的高中数学成绩.

1.在高中数学方程式中应用构造法解答

方程式是整个高中数学中最重要的知识体系构成之一,在数学学习过程中,存在较广的应用.传统的方程式解答方案,存在一定难度,再者方程式数学题本就存在一定难度,高中生在解答方程式时长时间碰壁,逐步影响高中数学的学习兴趣,进一步影响数学的学习意识.应用构造法,能够让数学方程式题目变得一目了然,能够通过分析未知变量,从而整合方程式题目中所蕴含的各种知识内容,能够有效地培养高中生的数学学习思维,能够通过运用构造法解决方程式难题获取成就感,并对抽象化的数学方程式难题进行实质性优化,从而达到降低方程式难题难度,提升高中数学难题解题效率以及解题质量的要求,从根本上解决方程式难题中信息不全面,解题不全面,无法解题等问题.

例1设d、o、z均为实数,若(d+z)(d+o+z)<0,证明(o-z)2>4d(d+o+z).

题目中的不等式为(o-z)2-4d(d+o+z)>0.由此可以联想到所学的一元二次方程根的判别式,也就是o2-4dz.由上可以构造一个二次函数,f(x)=dx2+(o-z)x+(d+o+z).只需要证明二次函数f(x)=0有两个根就可以获得答案.

当d=0时,从以上的已知条件可以获取o不等于z;反之,若o等于z,那么z(o+z)<0⟺o2<0是不成立的.因为d不等于0的时候,假设f(x)=dx2+(o-z)x+(d+o+z),因为f(0)=d+o+z,f(-1)=2(d+o+z),从已知的条件(d+z)(d+o+z)<0,所以,f(0)·f(-1)<0,所以二次函数的f(x)图象与x轴是相交的,所以(o-z)2-4d(d+o+z)> 0,所以(o-z)2>4d(d+o+z).

2.在高中函数中应用构造法解答

函数是整个高中数学领域中的一个重要知识点,与方程式一起构建了高中数学的两大基础性结构,在函数中应用构造法解题,能够有效地培养学生的解题思路,能够让学生将自己所学的知识应用在函数解题过程中.应用构造法解题的过程中,能够培养学生的解题思维,这也是解答高中难题的关键.高中数学知识中,几乎所有的数学练习题中都包含了一定的函数知识与函数思想.因此,在解决这一类难题的过程中,应用构造法是必须的,能够将难度较大的函数问题转变为比较简单的函数问题,能够提升学生的思维能力与创新性.

例2已知a、b、c∈(0,1),求证:a(1-b)+b(1-c)+c(1 -a)< 1.

使用构造法,首先要构造函数.f(x)=(b+c-1)a+(bc-b-c+1).b、c∈(0,1),f(0)=bc-b-c+1=(b-1)(c-1)> 0,f(1)=(b+c-1)+(bc-b-c+1)=bc> 0.f(x)是一次函数,该函数图象为线段.因此从a∈(0,1)恒有f(x)> 0,即(b+c-1)a+(bc-b-c+1)> 0,整理后可以得到,a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)< 1 .

3.在高中图形中应用构造法解答

高中数学难题中,很多图形题,应用常规解答方法难以解题,应用构造法,能够让数学题变得更为简单,让学生轻松解决难题.学生想要提升自己的数学难题解答能力,需要通过大量的数学题训练从而巩固学生所学知识,增强学生的问题解决能力以及思维拓展能力.

例3已知0

解构造边长为1的正三角形ABC,在三边AB、BC、CA上分别取点X、Y、Z,记XA=a,BY=b,CZ=c.,则BX=1-a,CY=1-b,AZ=1-c.由S△AXZ+S△BYX+S△CZY

在高中数学解题过程中,会涉及到很多数学理论知识以及数学公式,学生必须灵活掌握每一个公式才能够确保解题的效率与质量,获取优异的数学成绩.但是,高中数学知识较多,高中生的学习任务比较重,长时间面对大量数学问题,会影响学生兴趣.应用构造法能够帮助学生更有效率的解题.

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