三角形旁切圆半径平方的倒数和的上下界加强

安徽师范大学数学与统计学院 (邮编：241003)

关于三角形旁切圆半径平方的倒数和的上下界，文[1]收录了如下结论.

定理1若ra,rb,rc,R,r分别是△ABC的顶点A，B，C所对的△ABC旁切圆半径，外接圆半径与内切圆半径，∑表示循环和，则

①

本文给出上述不等式(1)的一个加强.

定理2若ra,rb,rc,R,r分别是△ABC的顶点A，B，C所对的△ABC旁切圆半径，外接圆半径与内切圆半径，∑表示循环和，则

②

1 两个引理

引理1[2]设a,b,c,s,r,R分别是△ABC的边长、半周长、内接圆半径与外接圆半径，则

其中等号当且仅当三角形为正三角形时成立.

引理2[3]设a,b,c,s,r,R分别是△ABC的边长、半周长、内切圆半径与外接圆半径，则

其中等号当且仅当三角形为正三角形时成立.

2 主要结论的证明

证明设△是△ABC的面积，应用三角形的面积公式Δ=(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr以及恒等式∑a2=2(s2-4Rr-r2)，有

利用引理1，有

利用引理2，有

不等式②得证.

3 讨论

所以，不等式②是不等式①的加强.