《直角三角形相似的判定》教学实录与反思

安徽省滁州市第六中学 (邮编：239000)

1 教学背景

前不久，本人有幸参加了安徽省初中数学青年教师优质课评比活动，上课课题是沪科版九年级上册第22章第2节第五课时“直角三角形相似的判定”，上课学生来自安庆市外国语学校，学生基础较好，具备一定的思考、交流、探究的意识和能力.我与亳州的胡云龙老师、黄山的谢伟老师进行了同课异构的教学，能有机会和来自全省各地的优秀数学教师和专家评委进行了面对面的交流学习，给我的教学生涯留下了一次宝贵而难忘的学习经历.

2 教学设想

本节课之前，学生已经掌握了直角三角形全等的判定方法和一般三角形相似的判定方法，为进一步探究直角三角形相似的特殊判定方法积累了经验和探究方法.为此，我确定了本节课的教学定位：如何引导学生类比“HL”，通过“探究、发现、猜想、证明”推导出判定方法是本节课的切入点，判定方法有多种证法，教材中采用了“设k法”，并运用勾股定理证明，这种代数证法是一种重要的思想方法，体现了数形结合的思想，要求学生能够理解掌握.

3 课堂实录

3.1 创设情境，引入新课

师：同学们，还记得我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法吗？

生：两角对应相等的两个三角形相似.

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

三边对应成比例的两个三角形相似.

师：我们知道直角三角形是一种特殊的三角形，这些方法能用来判定直角三角形相似吗？

生：能.

师：我们在研究相似三角形的特例全等三角形时，就知道直角三角形全等还有其独特的判定方法，大家还记得是什么吗？

生：HL.

师：既然直角三角形全等有特殊的判定方法，那么直角三角形相似会不会也有类似的判定方法呢？今天我们就一起来探究直角三角形相似的判定方法.

3.2 合作探究，学习新知

师：下面先来探究一个具体的问题，类比HL，我们也给定两个直角三角形的斜边和一条直角边，那么这两个直角三角形相似吗？

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=2，BC=1，A′B′=4，B′C′=2.求证：Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′.

学生独立自主探究后分享解题思路，用展台投影展示学生解题过程，并由学生完成自评.

生1：利用勾股定理求出AC、A′C′边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，就可以证明这两个三角形相似了.

生2：利用勾股定理求出AC、A′C′边的长后，也可以用两条直角边对应成比例，且所夹得角都是直角来证明这两个直角三角形相似.

师：请同学们仔细观察本题的条件和结论，你有什么发现吗？

生：知道了两个直角三角形的斜边和直角边就能够证明它们相似了.

师：需要知道几条直角边？

生：一条直角边.

师：已知条件给定的斜边和一条直角边有着怎样的关系？

生：比值相等.

师：也就是对应成比例，同学们能不能根据探究和发现，类比HL，大胆猜想一下直角三角形相似的特殊判定方法？

生说出猜想，教师规范语言表述并板书猜想：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

师：同学们，怎样才能知道我们的猜想是否正确呢？

生：证明.

师：我们如何证明一个文字命题呢？

生：先画出图形，然后根据图形和命题写出已知和求证.

师：请同学认真分析一下题目，根据已知条件，你准备如何证明这两个直角三角形相似？

生：我想求出第三边的长，用三边对应成比例来证明.

师：好，那请同学们尝试求出第三边的长.

生尝试后发现无法求出第三边的长.

生：可以用“设k法”.

师：之前我们遇见过“设k法”吗？

生：学习比例性质的时候遇见过.

师生合作完成证明过程，教师板书.

师：在这里我们采用“设k法”，利用勾股定理求出另一条直角边，从而得出三边对应成比例，请同学注意这种代数证法是一种重要的数学思想方法.这样我们就证明了猜想是正确的，它可以作为直角三角形相似的判定依据.

3.3 学以致用，深化理解

师：请同学们尝试独立完成下面的练习.

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=5，AC=3，DE=10，当DF=______时，Rt△ABC∽ Rt△DEF.

师：Rt△ABC∽ Rt△DEF是条件还是结论？这样做对吗？

师：我们要审清题目的条件和结论，不能把结论当作解题的条件来用，如果老师把题目做一个小小的改动，你觉得答案还会是6吗？

变式当DF=______时，Rt△ABC∽Rt△EDF.

生：答案不是6，是8.

师：为什么小小的改动，答案就不一样了？

生：因为题中的对应关系发生了改变.

师：看来同学们都已经掌握了直角三角形相似的判定方法，下面我们再来挑战一下自己吧.(出示例题)

如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似？

师：题中的条件是什么？结论是什么？想得到这样的结论还缺少什么条件？请同学们小组交流、讨论.

小组代表分享本组探究交流成果后，教师利用几何画板动态演示两种可能的图形，规范解题过程.

师：请同学们回顾本题探究和解答过程，你有什么收获？

生：象这题用文字语言描述两个三角形相似，对应关系是不明确的，解题时要分类讨论.

3.4 课堂小结，分层作业

师：请同学们静思一下，想一想这节课我们学习了哪些知识？

生：我学会了直角三角形相似的特殊判定方法.

师：在探究判定方法的过程中你有哪些新的收获？

生1：我们可以通过“探究、发现、猜想、证明”这样的方法获得新的数学定理.

生2：我们是类比直角三角形全等来探究相似的，还用到了设k法来证明直角三角形相似的判定方法.

分层作业

必做题：课本第85页习题22.2 第4、6、7题.

选做题：请尝试用其他方法证明直角三角形相似的判定定理.

4 教学反思

4.1 巧设问题，诱发学生思考

章建跃博士曾说过，教师提问的质量决定了教学的质量，而问题的质量主要体现在“启发度”的把握上，我在设计课堂导入时，通过一系列问题串，从一般三角形相似到直角三角形相似，再从直角三角形全等到直角三角形相似，让学生体会事物之间从一般到特殊，从特殊到一般的关系，为本节课从特殊的直角三角形相似到一般的直角三角形相似的探究过程埋下伏笔.同时，学生在探究例题的过程中，教师适时设问和追问，引导学生多角度思考问题，使学生在问题的驱动下产生进一步求知的欲望.

4.2 多样探究，体现学生主体

学生是课堂的主体，是课堂活动的实践者，在教学过程中要发挥学生的主体作用，让他们去思考，去实践，去交流，去总结，去分享，亲身经历的才能印象深刻，自己总结的才会成为经验.本节课的探究活动从具体的例子开始，问题浅显易懂，适合学生已有认知，因此采用学生自主探究的方式进行.而直角三角形相似的判定方法的证明，学生可能对通过“设k法”寻找证明思路，以及对代数证法这种重要的思想方法的理解有困难，所以这里采用了师生合作探究的形式. 练习及其变式的设置既让学生体会到对应的重要性，又为解决例题积累了经验，因而例题采用了小组合作探究的方式.通过学生自主探究、师生合作探究、小组合作探究等多样的探究形式，发挥学生的主体作用，充分分析和估计学生的最近发展区范围，由易到难，把学生的思维逐步引入深处.

4.3 善于追问，重视思想方法

在数学教学中渗透数学思想方法，有助于学生形成正确的认知结构，有利于教师高起点的分析解读教材.本节课的教学中，不仅教给学生直角三角形相似的判定方法，而且在每个问题探究结束后，教师都及时追问，提升探究问题的深度和广度，引导学生开展解题分析，不断看透本质，抽丝剥茧，抛开题目对数字的非本质依赖，从特殊走向一般，从“一个”发现“一类”，形成具有一般性规律的结论，发现解决问题的一般途径，让学生体会类比、代数证法、数形结合、分类讨论、从特殊到一般等重要的数学思想方法.

4.4 现代信息技术的合理应用

本节课恰到好处地将现代信息技术与数学学科整合，教学中用展台投影展示学生的解题过程，用PPT课件展示探究问题、例题、练习、作业等，而将教学的知识重点留在传统的板书上，使传统板书与教学课件优势互补，省下很多的板书时间，让学生有更多的时间去思考、交流，提高了课堂的教学容量和效率.用几何画板动态演示例题的两种分类，形象直观，易于理解，既让学生感受到数形结合、分类讨论的思想，也突破了例题的教学难度.

4.5 教学中的遗憾

在学生猜想直角三角形相似的判定方法时，语言表述的不够规范，为了顺利完成课堂教学，我直接纠正了学生的说法，没能及时引导学生进行自我反思.课堂教学是一个开放的、不断生成的过程，教学中应重视课堂生成，并合理、有效地运用生成，才能给课堂教学带来精彩.其实，学生的回答即使是错的，教师也要耐心倾听，并给予激励性评析，这样既可以帮助学生纠正错误认识，又可以激励学生积极思考，激发学生的求异思维.

直角三角形相似的判定方法有多种证明方法，教材选用“设k法”这种代数证法进行证明，由于受到课堂教学时间的限制，我采用了师生合作探究的方式来完成这一教学环节，学生的思维被教师设置的问题所牵制，没能尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，没能体现出学生思维的多样性.

5 我的一些疑惑

直角三角形相似的判定，在有些版本的教材中并没有将其单独作为判定定理来进行编排，沪科版教材中也没有标注这是一条判定定理，而只是注明这是直角三角形相似的判定依据.马鞍山市教育科学研究院刘义杰主任在课后点评时提出一个问题，既然一般三角形相似的判定方法都可以用来解决直角三角形相似的判定，那么我们有没有必要研究它的特殊判定方法呢？我想，作为一线教师是否应该更深入地研究教材、思考教材，从一般三角形相似的判定定理到直角三角形相似的判定方法，正是体现了从一般到特殊的数学思想，而判定条件的弱化和减少，也体现了数学的简洁之美.

教材例题中有这样一句表述“问当BD与a、b满足怎样的函数表达式时”.函数关系是两个变量之间的关系，而本题中a、b是已知量，只有BD一个未知量，能不能称为函数表达式呢？在教学中我将这句话改为“问当BD与a、b满足怎样的关系式时”，不知是否得当？

6 结束语

在探究、发现、猜想、交流中获得对数学学习的兴趣，促进学生数学思维能力的提高，数学教学需要关注知识的来龙去脉、前后联系、蕴含的思想方法，因此教师一定要精心设计好教学探究流程，突出学生主体，注重课堂生成，让学生在探究中体验成功，领悟数学思想方法，使数学课堂焕发出勃勃生机.相信通过这样的评比展示活动，不断地反思和改进，所有参赛和观摩的教师把握、处理教材的能力都会有明显的提升.