培养数学阅读方式的教学实践创新

淮北师范大学数学科学学院 (邮编：235000)

在教师必须完成某些数学施教任务时，学习者总是需要具备某些数学技能、知识、观念、思想、理论、经验等的前提条件，当这些前提条件不能充分满足时，学习者个体就必须要进行额外的学习，使这些前提条件得到满足，才能完成目前所需要完成的这项新的学习任务.学习的途径很多，如果从独立完成学习任务的视角上看，主体最常选择的途径就是查找与阅读相关的学习材料，这就需要进行阅读.因此，数学阅读素养构成了学习者发生其他素养的基础条件.从这个意义上来说，数学阅读素养就是学生学习数学的最为重要、最为基础的核心素养之一.当主体具备了数学阅读素养，其他核心素养就可以由主体自己独立地发展起来.伴随着这一过程，数学阅读核心素养可以迅速地转化为学习者学习数学的其他多方面的能力，或者为这些数学能力的产生与完善提供必要的支持.

1 数学阅读特点

众所周知，学科内容差别的最为重要的标识，就是学科共同体正在使用的语言(或者是语言的内涵)的不同.学科语言的不同决定了不同学科学习方式也不同，因此，学科语言学习组成了学习活动的最为基础的部分.阅读总是学习活动的基础中的基础，学习材料的性质决定了学习者阅读活动的类型、方法与方式.学习数学材料时的阅读活动不同于学习文史哲材料时的阅读活动，数学知识的(精确性、结构性、严谨性、逻辑性等)特点，所决定了阅读者需要具备精确、条理、灵活、精力集中与盈科而后进[注]注：语出孟子的《离娄篇》.原文为“原泉混混,不舍昼夜,盈科而后进,放乎四海.”盈，是充满，“科”通“窠”，指坑洼，盈科而后进的意思是，水流动时，总是要把前面的坑洼填满了，才能继续前进.本研究使用这个概念，指学生学习具有某种特点的数学知识时，组成这个知识的前在要素必须要得到完全的满足，才能在学习者的心理上产生新的数学知识.等心理特点的要求；在阅读文史哲的相关材料时，学习者主要是吸收材料中所内含的核心思想的过程，可以不注意材料中的某些细节，也无需“盈科而后进”的要求，可以不按照文章所表达的顺序阅读，还可以跳读，或只注意文章的某些主题句甚至几个关键词.

表达数学知识的要素，除了我们所习惯使用的母语语言，还有符号语言、图形语言、图表语言，它们共同组织成了数学知识.因此，在阅读数学材料时，学习者必须理解这段材料中的每个数学术语、每个数学符号的精确含义.每个数学符号的一义性，决定了母语语言在数学知识中的使用也必须形成严格的一义性，不能产生任何歧义，没有含蓄、猜测、推测与想象的余地，这是数学语言所形成的数学知识的特点.当阅读者试图通过阅读理解一个数学概念、数学原理，或要看懂一个解题过程时，学习者不能忽视任何一个数学术语、符号或图形，更不用说数学概念与原理了，否则，他就不可能准确地理解这个概念、原理或掌握这个已经解决了的问题，在数学的学习中就不能继续前进.

要想通过独立阅读的方式理解书面数学材料，学习者必须集中精力.如果学习者对自己所阅读的数学材料不感兴趣，或者他无心思、无毅力阅读，就不可能认识这段书面材料的顺序、结构与组织性，就不可能揭示出数学语言材料中的数学思想、观念更不可能把这种思想观念转化为数学才能和技能.因为随后而来的新的数学事实、概念与原理等，通常都是以先前的数学对象(符号、概念、原理等)为素材加以阐述与说明(盈科而后进)的，如此，学习者心智中的错误的、似是而非的或具有缺失的材料(事实、概念、原理或母语中语义分歧等)，就可能导致学习者的阐述混乱和理解上的缺陷，致使新的阅读活动难以为继.

学习者数学阅读技能欠缺的原因，一方面，可以追溯到他们对先前的学习内容在某些方面的忽略与错误理解；另一方面，学习者数学阅读难点就是理解各个数学分支中的许多事实、技能、概念与原理之间所生成的复杂关系.如有些学生试图把数学内容当做互相独立的事实与技能去记住，他们就不能理解对若干个数学对象的分析、综合和组织所形成的数学表达.那么，作为数学教师，如何在自己的数学教学过程中，促进学生形成数学阅读技能、掌握数学阅读方法、获得数学阅读能力呢？首先要培养学生适应不同的阅读材料，而并不仅限于数学教科书.本研究就是据此展开.

2 数学阅读方式

《现代汉语词典》(第五版)在第353页中将“方式”一词释义为“说话做事所采取的方法与形式”.由此，我们可以界定数学阅读方式这个概念，指的是数学阅读所采取的方法与形式.学习者要完成任何一项具有一定难度的学习任务，都必须要讲究方式、策略与方法.学习者要想在数学学习中取得好的成绩，就要讲究数学学习方式，其中阅读数学教科书的方式就构成了学好数学活动基础中的基础，这是无庸置疑的，因为任何想要学好数学学科的学习者，总是无法绕过独立阅读这种途径.那么，数学教师在教学过程中，如何培养学生良好的阅读数学教科书的方式和习惯呢？

2.1 数学阅读的领悟性方式

在学生阅读数学教科书而产生一个数学问题时，他从思考到解决往往需要经由思维活动过程中复杂的分析、综合、归纳、演绎、想象、猜想、抽象与概括等加工过程，尽管这些过程所需要的时间不等，但这个过程中的某些关键性环节是不可逾越的(盈科而后进).然而，一旦学生有了领悟能力，对阅读文本中的字面意义的辨别、判断就可以无须经过每一个环节而往往只需要在感知活动中将储存在大脑智囊神经化学网络中相关概念、定理和性质、解题思路与所要学习的新内容比较一下便能直接作出判断了.其中的分析等心智加工的过程是具有个性化的，因为，每个人头脑中的相关知识量、学习经验、阅读体验等是不相同的，所以在学生群体中必然会出现感觉与推理等领悟能力不同的格局、层次与水平.

阅读数学教科书的领悟性方式的重要价值在于，求异之心有助于从平常的现象中产生出不平常的关系，从似乎是无所作为的平淡的信息中发掘出意想不到的新知识.因此，领悟性具有化腐朽为神奇的力量.记得研究者1985年第二轮教学“数轴”概念时，首先要求学生阅读这一节课的内容，然后准备使用“温度计”演示，采用类比的手段帮助学生理解“数轴”概念.然而，当学生的阅读活动一结束，研究者向学生提出了一个问题，你对“数轴”概念有什么认识？有一名名叫金泽涛(1991年考入了当时的“华东冶金学院”，现在的“安徽工业大学”)的同学说，“‘数轴’概念是为了表示所有的有理数的而构造出来的一种工具，因此，就是要考虑用一条直线上的点表示所有有理数所需要附加的一些条件，我通过阅读发现，只要有‘原点’、‘正方向’与‘单位长度’这三个要素就可以达成这种目的了.”

他的这句话就是通过阅读教科书而产生的对“数轴”概念的深层次领悟，它不依靠现象性的“温度计”的类比，而是直接地深入到了“数轴”概念的本质.这种领悟启发了教师对这个知识点结构的深层次领悟这种领悟形成了教师后来“数轴”概念教学的经典设计，现将这种设计的关键步骤实录如下：

师：有理数组成：负有理数；零；正有理数(板书).

师：(初始问题)可以用一直线上的点表示有理数吗？

图1

生1：负数、正数都无限多，零只一个，因此，可以首先在MN上任取一点O，规定它表示零(如图1).

师：如此，点O将直线MN分成三部分，自身表示0，称点O为“原点”.于是，负、正数该由射线OM，或射线ON(除端点O)上的点来表示.究竟哪一条射线上的点表示负数，哪一条射线上的点表示正数呢？(学生想出许多区分方案)

师：这些方案中，那种更简单、更实用？

生：用箭头！

师：在图1的直线MN上，画一个箭头.规定，用具有箭头的射线上的点表示正数，反之，表示负数.称箭头为“正方向”(如图3).

图2

师：在图2中表示有理数+2？(两个同学各自选择不同的点A和点B表示+2.如图3)

图3

师：哪一个才是表示+2的点？(学生决定用一把“尺子”来裁决，以原点O为起点，在具有正方向的那条射线上次第量两尺，规定“尺子”落脚的终点C为表示+2的点.如图4)

图4

师：“尺子”是一个度量长度的“单位”，称之为“单位长度”.

师(板书)：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴[1].

阅读数学教科书的领悟性方式对于教师的施教与学生的学习都提出了极高的要求.其一，学生需要具有反常规的独创，经由这种独创，透视从教科书呈示的现象性知识过渡到结构性的本质，这种领悟的心理活动建于旧有的模糊意识，在与传统的思维方式作斗争的过程中成长起来.在此过程中，要勇于克服思维的消极定势、自信心不足的不利因素；其二，形象地说，学生阅读教科书的领悟性方式表现为悬置自己旧有的思维经验，在一片空白的空间中翱翔自己思维的翅膀，从而具有居高临下，一览众山小的思维格局与气势.这是教师在教学过程中要特别注意的地方.

2.2 数学阅读的释疑性方式

学生在阅读数学教科书时，由于阅读经验不足，阅读技能、阅读方法与阅读能力等都是处在形成过程中，他们不能轻易地深入到教科书所呈示的文字的本质结构(如“数轴”概念所显示的)，经常出现分不清轻重缓急、眉毛胡子一把抓，捡到芝麻、丢了西瓜的现象，往往对关键性的数学事实、数学概念与数学原理所组成的结构关系有所忽视，此时，教师就要在这些关键环节处，精心设计教学活动过程，有针对性地促使学生注意，这对培养学生组织零碎的数学材料，从而生成数学知识结构，对形成数学的言之有据的理性精神具有十分重要的作用.看研究者自己的一个教学中的例子.

例1(教科书上的例2[2])解方程组

师：如何解这个方程组？

生5：由⑤，得x=13-4y.

⑥

把⑥代入④，得2(13-4y)+3y=16，-5y=-10，y=2.

把y=2代入⑥，化简得x=5.

师：“把⑥代入④”为什么可以实现呢？

生6：这是“代入消元法”所规定了的.

师：听清楚我的问题，我所问的正是“代入消元法”为什么可以实现？

生：……

师：在教科书引言中(第99-103页[2])的“鸡兔同笼”问题中，是怎样实现“代入消元法”与“加减消元法”的？

生7：那里，所设的x与y是分别指那个问题中的兔数与鸡数，于是，两个方程中的x是同一个数，y也是指同一个数，因此，可以使用“代入消元法”与“加减消元法”.例1这个方程组却没有说明方程④与方程⑤中的x与y分别是指同一个数，……

师：生7同学的分析非常有道理.因此，大家如此使用“代入消元法”与“加减消元法”求解这个方程组的解就成问题了，在这道没有了实际意义的抽象方程组中，x与y还一定指的是同一个数吗？这已经没有了依据，因此，它失去了逻辑的起点.怎么办？

生：……

师：书到用时方恨少，事非经过不知难.大家阅读第一节“认识二元一次方程组”[2](103-105)这几页的教学内容，看看可否找到解决这个问题的依据？

生8：我看到了“适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解；……二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解”[2](105).所谓“公共解”就是相同的解，因此，这两个方程的解就是相等的了，于是，由定义的规定，我们知道，方程组中的两个方程的相同的未知数的值是相同的，因而，可以使用“代入消元法”与“加减消元法”来求方程组的解.

学生在解二元一次方程组使用“代入消元法”与“加减消元法”时，学生往往只注意到了具体的求解二元一次方程组的具体方法，而没有意识到这种方法的来源及其方法产生的内在逻辑性，这就造成了巨大的教学损失，教师要明确地认识到，这只是凭依实物的数据特点进行的课堂教学活动，它培养学生的只是一种实用性的思维的层次，课堂教学的更为重要的目的，就是要将这种实用性思维层次上升到理性思维的层次，这就要避免用鸡兔的具体头与脚的具体数字的(相同)特点作为产生“代入消元法”“加减消元法”的解决问题的方法的依据，它只能构成具体的实物性的逻辑起点，数学的本质旨在规定解决问题的一般性的依据，从而构成抽象性的逻辑起点，这就要“二元一次方程组的解”这个核心概念，以此构成了求解二元一次方程组的解的抽象的逻辑起点.[3]

2.3 数学阅读的批判性方式

阅读数学教科书时，伴随着阅读活动过程，往往在学习者的思维中需要进行一系列质疑与批判活动，其一，对学习内容(教科书的呈示)具体体现于对教科书所呈示的教学内容的可靠性展开质疑与批判；其二，对学习的思维活动自身，即运用自己的经验理解或领悟学习内容活动时自己的理解途径或形成经验过程本身展开质疑与批判等.看研究者在教学中所遇到的一个教学中的例子.

当研究者在课堂上要求学生阅读完这段文字，询问他们对此有什么感受时，不少学生说，这段叙述明白无误，有一个二次根式，相应地就会产生一个有理化因式；当研究者追问，你是怎样理解的？有学生回答，我们过去学习过了“互为倒数”，“互为相反数”，形成了具体的这一类型问题的学习经验，在面对“有理化因式”概念时可以运用理解“互为倒数”，“互为相反数”的经验，于是，认为一个二次根式的“有理化因式”也是唯一的.但是，当研究者教科书为什么要想大家提出“你认为有理化因式是唯一的吗？”这个问题呢？此时，有同学发现了一个二次根式的有理化因式不唯一，并且举出了合适的例子，加以说明.研究者在课堂上进一步追问，如果教科书不提出“你认为有理化因式是唯一的吗？”时，你也能自己提出这样的问题吗？几乎所有的学生都承认，想不到提出这样的问题.

阅读数学教科书时，一方面，萌生出对教科书常规呈现的教学内容的质疑，从而做到不盲从教科书，不迷信专家，实现学生自己阅读与思维活动的创造性；另一方面，从司空见惯的现象中深入到它的本质，进而改造自己已经形成了学习经验，完善自己思维的监控系统，完善自己的认知结构，从而为完备自己的认识活动及其产生的认识成果.在这两个方面，批判性方式阅读都可以发挥独到的作用，因此，批判性方式是非常重要，这对学生个体独到性地理解具有具体结构的数学知识，发现知识间的难以揭示出的关系，奠定了基础.但是，由于培养学生的批判性阅读方式确实不是一件容易的事情，所以教师必须要仔细地检视教学内容，不放过培养学生批判性阅读的点滴机会，只有这样，才能实践教学目标.

3 简要结语

俄尔(R. Earle)指出，“大多数专业人员一致同意，认为任何一门学科领域中的阅读，不能、也不应当与该领域中的概念发展分割开来.”[5]俄尔的论述虽然只是针对所有学科的概念学习这个部分而言的，但是它对于数学学科中的数学事实与数学原理的发展也是适用的，试想，学生在课堂上听教师讲课的时间毕竟是少而又少的，绝大部分的数学学习活动都绕不过学生通过自己的数学阅读(例如，预习、做作业时查阅教科书与辅导书等，必须要经过)这一基本途径来完成的.具有数学阅读素养的学习者通过独立的数学阅读，可以接受数学事实，形成数学概念，理解数学原理，萌发数学技能，吸收数学思想，窥视数学方法；并为从这些内容的阅读学习中转化为数学能力提供基础.研究者的亲身实践证明，在数学教学过程中，依据具体阅读方式，培养学生阅读教科书的能力，可以获得良好的效果.