平面磁场的磁感应线

卢军强 翟 峰

(浙江师范大学物理系,浙江 金华 321004)

在数学物理方法的教材[1,2]中，解析函数的一个典型应用是平面(静)电场。借助复位势可以方便地画出平面电场的电场线和等势线。作为平面电场的对偶，平面磁场的讨论却不多见。无限长的通电圆筒 (电流均匀分布)、通电直导线产生的磁场都是平面磁场。一根无限长的磁铁，当磁化强度均匀分布时，产生的磁场也是平面磁场。本文拟讨论平面磁场的基本性质，通过与平面电场的比较，发现平面磁场的磁感应线与相应特定平面电场的等势线重合。

1 平面磁场和平面电场形式对应关系

为方便起见，考虑平行于xOy平面的平面磁场和平面电场，它们具有形式

由磁场的高斯定理和安培环路定律可导出

产生平面磁场式(1)的电流密度场j只有z分量jz，它是传导电流密度和磁化电流密度之和。

由静电场的高斯定理和环路定理可导出

其中ρ(x,y)是产生平面电场式(2)的带电体的电荷密度分布。

不难验证，若作替换μ0jz→ρ/ε0，(Bx,By)→(-Ey,Ex)，则式(3) 变为式(6)，式(4)变为式(5)。这表明：由电流密度是jz(x,y)ez的电流场产生的平面磁场式(1)，与由电荷密度是ρ=jz/c的带电体产生的平面电场式(2)存在联系：

Bx=-Ey/c,By=Ex/c

(7)

我们知道[1,2]，平面电场在无源区可由解析函数描述。由对应关系式(7)可知，在电流密度为零的区域D，平面磁场式(1)也可由解析函数描述，它对应解析函数fB(x+iy)=By(x,y)+iBx(x,y)，式(3)和式(4)则给出柯西-黎曼条件。若区域D是单连通的，则fB存在原函数wB=U+iV。由w′B=By+iBx可知wB虚部V的等值线是磁感应线。wB的实部U代表什么物理量？一个答案与式(1)的某种磁矢势A=Az(x,y)ez有关。由B=×A得出因此，Az与-U只相差一个常数。

我们基于对应关系式(7)讨论平面磁场的磁感应线。磁场式(1)的磁感应线满足微分方程组

(8)

其中，s为磁感应线相对于某个点的弧长。考虑与此平面磁场对应的平面电场，它的等势线在直角坐标为 (x,y,z) 的点处的切线与Exex+Eyey垂直，即与-Eyex+Exey平行。固定切线沿-Eyex+Exey方向，可得等势线满足的微分方程组

(9)

由对应关系式(7)，微分方程组式(8)和式(9)完全相同。因此平面磁场的磁感应线和与之对应的平面电场的等势线重合。这里没有考虑磁感应线的走向。后者可由磁感应线与电流线套链的右手法则来确定。

2 例： 3根彼此平行的通电直导线共同产生的磁场

目前有很多软件(Matlab、Mathematica等) 能轻而易举地绘制等势线。因此，我们的结论对绘制平面磁场的磁感应线是很有意义的。作为一个简单的例子，考虑3根彼此平行的通电直导线共同产生的磁场B3l。这3根导线和xOy平面的交点分别是(x1,y1)=(-1,0),(x2,y2)=(1,0),(x3,y3)=(0,1)，载荷的电流是I1=I,I2=-2I,I3=I(I>0,采用国际单位制)。对应的平面电场由三根均匀带电直线产生，电荷线密度分别为λk=Ik/c,1≤k≤3，产生的电势是U(x,y)=

图1 3根分别载流I, -2I，I的直导线产生的磁场

图2 3根都载流I的直导线产生的磁场

3 结语

本文通过讨论平面磁场与平面电场的基本性质以及它们之间的形式上的对应关系，发现平面磁场的磁感应线与相应特定平面电场的等势线重合；我们的发现为绘制平面磁场的磁感应线提供了一种简易方法。