利用数字模拟预测干板全息成像质量的实验设计

王 卓 张泽华 王 菁

(北京航空航天大学 1 航空科学与工程学院; 2 物理学院 北京 100191)

全息照相作为经典的三维成像技术，已广泛用于教学和科研中[1-5]，然而其所成像的清晰度(成像质量)受曝光量影响很大，而曝光量又受诸多因素影响，如：激光器功率、曝光时间、扩束镜到干板光程等[1]，初学者很难自行确定成像清晰的合适条件。

计算全息作为一种数字模拟方法采用计算机编码生成全息图，具有噪声小、重复性高、成本低等优点[6-8]。采用该技术预测传统干板全息的成像质量无疑是一个不错的想法．依据采集原理，当采集过程中没有发生失真时，传统干板和数字采集两种方法获得的衍射再生像的光强分布均与原物光强分布成正比，两者的清晰度可线性比拟[9，10]。而当采集介质或元件不能准确记录原物信息时，再生像就出现了差别。传统干板记录的是物光和参考光干涉的光强分布，当CCD局部出现“过曝”(超过阈值)/“曝光不足”(噪点影响明显)时，失真区域会出现在干涉场曝光量较强/较弱的地方；而计算全息中CCD直接采集物光光强，失真区域则为物光曝光量较强/较弱的地方，两者所对应的区域不同，还原出的衍射再生像也不同。 由于物光光强分布较为复杂，理论上很难通过公式推导获得两种模式在失真时得到的再生像清晰度的关系。

本文将提出一种定量预测传统全息成像质量的实验方案，对计算全息中的博奇编码进行改进，设计易于对照的实验光路，取曝光时间为自变量，探究合适的数据处理方法，力求通过数字模拟很好地预测传统干板实验的成像质量。

1 实验原理

1.1 干板成像原理

根据全息成像基本原理[1]，照射到全息干板上物光和参考光的相干光强分布为

(1)

其中，O(x,y)、R(x,y)分别为物光和参考光复振幅的空间分布。

以参考光为再现光照射冲洗后的干板时，干板的透过率函数与干涉光强成正比，衍射场复振幅空间分布即为

(2)

其中β为比例常数。从等式最右边第三项中，即可提取出物光的信息。

1.2 数字模拟成像原理

本实验采用博奇编码算法[11]生成再现像，具体原理如下。

先用CCD只采集目标物体的像(以硬币像为例)，CCD结构特性决定了采集到的是离散的物理光场振幅f(x,y)。

对二维离散函数f(x,y)(其中x=0,1,2,…,P-1;y=0,1,2,…,Q-1)进行傅里叶变换，即：

(3)

其中，F(μ,v)为物光振幅频域信息。将参考光振幅和相位均设为1，物光振幅设为1，干涉场和衍射场复振幅空间分布将变为

其中φ(μ,ν)为物光的频域相位。滤去直流项，再经过傅里叶逆变换

(6)

图1 (a) CDD直接采集的物像； (b) 数字模拟的干涉像； (c) 数字模拟的衍射像

即可还原出目标物体的全部信息，如图1(b)、(c)分别为目标物体的干涉像和衍射再现像(包括共轭像在内)[11-16]。式(3)和式(6)中，空域变量由x和y表示，频域变量由μ与v表示[12]。

将离散的物理光场进行FFT和博奇编码处理即可得到同时具有“振幅信息f(x,y)”和“频率信息ψ(x,y)”的信号。需要指出，频率信息ψ(x,y)虽然不等于相位信息φ(x,y)，但二者的差别仅在于有无“初相φ0(x,y)”，而“初相”只影响成像的深度，即再现像的立体感，不会对清晰度的评价造成影响，详见1.3节清晰度评价原理部分。

1.3 清晰度评价原理

一幅图像是否清晰，反映为空域上图像的边界及细节部分是否清晰，因此可以在空域上对图像灰度进行微分来获取图像的边缘及细节信息。图像的边缘是指其周围像素灰度有阶跃变化的那些像素的集合，边缘点的个数可以直观地反映出图像的聚焦程度，因此可以使用边缘检测算子[16，17]来计算图像的边缘点数，以此作为聚焦的判据。

图2为9个像素点组成的小单元，其中心红色像素点的清晰度评价计算公式如下：

(7)

图2 清晰度计算示例

由于本实验所有需要评价的图像分辨率均一致为256×256，所以只需把各个像素点得到的计算值相加，作为评价值就可以反映整幅图像的清晰度[17，18]。因此边缘灰度变化越剧烈，反映出图像的清晰度越高。

2 “数字模拟”类比“传统干板”实验设计

为了探究采集失真时两种模式获得的衍射再生像的清晰度的关系，我们设计了类比实验。影响成像清晰度的重要原因之一是曝光量，而影响采集介质或元件曝光量的因素有很多种.考虑到曝光量是光强关于时间的积分[9，10]，且“曝光时间”更便于查询与实验，因此固定干板/CCD处的激光光强(功率)，取曝光时间作自变量为例进行探究。

2.1 “干板全息实验”光路设计

如图3所示，与传统的透射式干板全息实验光路布置类似，利用快门控制曝光时间，在全息防震实验台上使用相干性良好的He-Ne激光器作为激光源，出射的激光被M1反射后经过分束镜(记透射光为物光、反射光为参考光)，其中物光再次被M2反射，经过一焦距为25mm的扩束镜(为观察简洁图中未标出)后，被物体(一元硬币)反射在RSP-I型红敏光致聚合物全息干板[1,18]上；而参考光则经分束镜反射后再被M3反射，经过焦距同样为25mm的扩束镜(为观察简洁图中未标出)扩束，照射到全息干板上。与传统透射式干板全息实验不同，本文在干板后方增设一CCD以便收集成像(像素尺寸5.2μm×5.2μm，分辨率1280×1024，实际使用分辨率256×256)，受限于CCD采集图像的面积，需要汇聚光线，因此在CCD与干板连线的延长导轨上布置凸透镜组合(焦距均为50mm)和CCD，并适当调整二者距离，使得显示终端可以接收到物体清晰的像。

图3 物光与参考光在全息干板上发生干涉(虚线激光表示CCD处于未采集状态)

为实现精确化与定量化，本文通过导轨调整物光与参考光光程接近(从分束镜至干板光程均为120cm，其中扩束镜至干板光程为15cm)、照射干板的物光与参考光夹角为30°、激光器功率为20mW的前提下，使干板上物光和参考光的光斑重合(直径约2cm)。为获得较适宜的物光强度，选择一元硬币作为被采集物体，利用了其反射光方向性好、光束非明显发散的特点。通过快门控制干板曝光时间，完成显、定影后将干板放回原处，如图4所示，拿走原物并以遮光板代之(虚线表示原有硬币位置)。仅在参考光的照射下，根据全息干板的衍射特性，无需调整光路便可在CCD中收集到清晰的衍射再生像。根据实际需要控制不同曝光时间重复前述步骤即可得到多组衍射再生像。

图4 CCD收集仅参考光照射下的衍射再生像(虚线物体表示硬币被遮光板替代)

2.2 “数字模拟实验”光路设计

如图5所示，在“干板全息实验”光路的基础上，只需将参考光遮住(图中虚线光路)，并取走全息干板，即为“数字模拟实验”光路。很好地保证了与“干板全息实验”光路的一致性，避免了由于调整、改变光学元件及其位置引入的实验误差，为实验结论的可靠性提供了保障。在显示终端可以设置CCD的曝光时间，根据需要可以高效、快速地获得大量待处理的原始物像[20，21]。

数字模拟实验的特点在于只收集物光而不需收集参考光，再利用Matlab进行FFT与“博奇编码”的运算处理即可得到模拟的干涉图和衍射再生像(如图1(b)、(c))。

图5 数字模拟实验光路(只收集物像)(图中虚线表示被拿走/遮挡)

3 数据结果分析

3.1 数据处理

在干板全息实验中，对不同曝光时间条件下得到的衍射再生像进行清晰度评价，从而得到一系列对应于传统干板曝光时间的、量化的干板清晰度评价值；在数字模拟实验中，对CCD采集软件设置的不同曝光时间条件下模拟的衍射再生像进行清晰度评价，从而得到一系列对应于数字曝光时间的、量化的清晰度评价值。

图6 实验曲线

针对传统干板实验和数字模拟实验分别绘制得到两条“清晰度-曝光时间”曲线，如图6(a)、(b)所示。可以看出两条曲线变化趋势相似，都存在一个峰值，峰值附近可取最佳曝光时间，两侧清晰度较低的区域，即为“过曝”或“曝光不足”[19,22]。由于两条曲线较复杂，难以直接用单一数学方程描述，而将两条曲线以峰值点为界分割为左右两部分，在保证最高点完全重合的前提下，分别沿x、y轴方向进行平移和压缩变换，分段进行拟合，效果较好。拟合效果如图7(a)、(b)所示。可以看到左、右两组曲线能够很好地拟合在一起，拟合的相关指数分别接近0.9999和0.999。

图7 拟合效果

左段中两条曲线表达式分别为

右段中两条曲线表达式分别为

其中，y代表清晰度(纵坐标);x代表曝光时间(横坐标)。

在拟合图像中并未将双横、纵坐标全部标出，而是取横坐标为干板实验的曝光时间，纵坐标为数字实验的清晰度，此举将更方便本实验结果的应用：即给定光路参数的前提下，读者可根据数字模拟的衍射再生效果图选择自己满意的一系列图片，每张图都对应一个清晰度评价值——即可给出清晰度的最低标准，进而根据图表(或根据第4节的查询软件)找到符合要求的曝光时间范围，取此范围的下限(容许清晰度的最短曝光时间)作为制作全息干板的指导曝光时间和学生实验的参考时间，也可以为全息商业化生产节省时间(以本文实验条件为例，相比保守的参考时间[18]制作单块干板可节省至少60s曝光时间)，从而大大提高效率以及实验成功率。特别指出，相同条件下，由于干板清晰度高于数字清晰度，因此最后实际获得的产品比预期会更加清晰，尽可能避免由于系统或随机误差导致成像结果不合预期的情况。

3.2 数据预测

首先对3.1节中提到“分段拟合”过程中的“平移”和“压缩”变换进行进一步阐述：对于某一确定曲线方程，若仅进行平移和压缩变换，可由式(12)～式(15)描述：

即任何曲线的平移、压缩变换都可以由4个变量a、b、c、d唯一刻画.对于本实验，考虑到由最高点截断得到的左右曲线，则整个拟合过程将由8个拟合参数a1～d1和a2～d2唯一确定。

多次改变实验条件(如利用导轨控制扩束镜到干板光程、激光器输出功率等)，重复前述实验过程，可以得到对应离散实验条件下的拟合参数。需要指出，对于任意指定实验条件下的拟合参数，可以由与其实验条件邻近的两组实验的参数进行线性插值得到，再结合对应数字模拟的曲线结果即可反演预测任意指定条件下的传统干板“清晰度-曝光时间”曲线.由于数字模拟实验速度快、自动化程度高，因此可以预先通过大量实验将数字模拟结果储存在数据库中，而由于传统干板实验耗时耗力，因此只存储少量实验条件下的数据(需要实验验证每两组实验之间恰当的条件差别，如表1所示，以扩束镜到干板光程为例验证预测曲线与真实干板曲线的相关指数)，其余任一条件下的曲线将由数字模拟实验曲线结合插值得到的拟合参数进行反演预测。

表1 线性插值间隔合适性验证

3.3 不确定度分析

根据清晰度评价函数的原理，可在一幅黑色图片中加入一些环境因素导致的噪点，用清晰度评价函数对其处理，从而得到在此种干扰条件下清晰度的不确定度。

因为干板实验所需的曝光时间较长，而激光器功率又在一个固定值以较小的幅度波动，所以可以认为其相对时均值的正负脉动偏差可以相互抵消.因此激光器功率波动主要影响的是曝光时间很短的数字模拟实验，即采集数字模拟方法所用物像的过程和采集干板衍射再生像的过程。

3.3.1 干板全息实验的不确定度分析

实验表明，矩阵内诸如0#0#0#交错分布时，由评价函数得到的波动值最大。所以根据原图像大小建立一个与实验采集分辨率相同的矩阵(256×256)，取灰度中间值0.5作为浮动基准，假设因功率波动引起的灰度值变化范围为±0.1，矩阵内为如图8排列，通过公式(7)进行清晰度评价得到的不确定度经修约后为9×103。

考虑到实际情况中出现这样密集、规律分布的可能性很小，所以真实条件下的变化范围要小得多，例如若按图9分布，则通过式(7)进行清晰度评价得到的不确定度经修约后仅为3×103。

常用的清晰度指标数量级都在106以上，即不确定度小于实验值的1%，故干板成像判断清晰度的过程中的误差是可以接受的。

3.3.2 数字模拟实验的不确定度分析

通过与上述相同的方法可以计算数字模拟方法的不确定度。通过图8所示方法,计算得到的不确定度经修约后为104；通过图9方法，所得不确定度经修约后为5×103。

经大量实验数据验证，数字模拟清晰度的不确定度波动在103到104之间，而实验数据分析时所取的清晰度有效结果均大于106，因此不确定度为实验值的1%以下，证明数字模拟及清晰度评价过程是可靠的。

图8 经验证的最大波动

图9 实际波动情况举例

4 软件化查询

在实际应用过程中，使用图7(a)、(b)所述的图表进行人工反演预测过于繁琐，因此本文将数据集成在一款软件中，可以输入目标实验参数直接查询：如图10所示，选择所使用的干板类型、激光波长、扩束镜到干板光程、激光器功率及照射到干板的物光与参考光夹角，单击“确定”即可直接得到预测的传统干板清晰度曲线。可以进一步定量化分析反演预测曲线：单击“分析曲线”可见图11界面，可以输入曝光时间，得到对应的清晰度值；也可以输入预期清晰度，获得能实现该效果的最短曝光时间，从而大大简化了使用者的操作，提高了查询的速度和精确度。

图10 软件查询界面

图11 定量化“分析曲线”功能

5 结论

本文针对再现像失真时推导成像清晰度的理论局限问题，提出了一种类比预测的方法，即将干板实验光路和计算全息术中的部分关键技术(快速傅里叶变换算法、博奇编码法)结合，类比预测传统干板全息的成像质量。实验中保持传统干板和数字模拟实验采集光路的一致性，对得到的具有双横、纵坐标的“清晰度-曝光时间”曲线进行分段拟合，其拟合相关指数左半段接近0.9999、右半段接近0.999，提出了“拟合参数”，并基于插值得到的拟合参数提出能够预测任意实验条件下传统干板的“清晰度-曝光时间”曲线的方法。进而提出一款查询软件，集成现有实验数据，实现快速预测以及定量化查询，避免了人眼读数误差，提高了查询的精确度和效率。本文旨在给出通用的研究方法，对于未提及实验条件的探究方法类似，可以根据实际需要完善数据库。该方法可对实验教学和干板批量化生产提供指导。